试题

题目：
设A、B、C为△ABC的三个内角，若方程（1+x2）sinA+2sinB·x+（1-x2）sinC=0有不等实根，那么∠A为
锐角
锐角
．
答案
锐角

解：把原方程化为（sinA-sinC）x2+（2sinB）x+（sinA+sinC）=0
由正弦定理，得sinA=
a
2R
，sinB=
b
2R
，sinC=
c
2R
，
于是方程化为（a-c）x2+2bx+（a+c）=0，
∵原方程有不等实根，则a≠c，且△=4b2-4（a2-c2）＞0，得a2＜b2+c2，即b2+c2-a2＞0
根据余弦定理，得cosA=
b2+c2-a2
2bc
＞0，故∠A为锐角．
故答案为锐角．
考点梳理
根的判别式；锐角三角函数的定义．
先把方程变为一般形式，用正弦定理把方程转化为（a-c）x2+2bx+（a+c）=0，由△=4b2-4（a2-c2）＞0，再由余弦定理判断cosA＞0，得∠A为锐角．
本题考查了一元二次方程根的判别式．当方程有不等实根时，△＞0；也考查了正弦定理和余弦定理．
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