试题

（2006·北京）已知AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E．

（1）求证：CD是半圆O的切线（图1）；
（2）作EF⊥AB于点F（图2），猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；
（3）在上述条件下，过点E作CB的平行线交CD于点N，当NA与半圆O相切时（图3），求∠EOC的正切值．

（1）证明：如图，连接OD，
则OD为半圆O的半径
∵OC为半圆M的直径
∴∠CDO=90°
∴CD是半圆O的切线；

（2）解：猜想：EF=

1

2

OA．
证明：如图2，
连接OD、OE，延长OE交CD于点K，作EG⊥CD于点G，则EG∥OD，
∵CE平分∠DCB，
∴∠OCE=∠KCE．
∵EF⊥AB，
∴EG=EF．
∵OC是半圆M的直径，E为半圆M上的一点，
∴∠CEO=∠CEK=90°．
∵CE为公共边，
∴△COE≌△CKE．
∴OE=KE．
∵EG∥OD，
∴DG=GK．
∴EF=EG=

1

2

OD=

1

2

OA．

（3）解：如图3，
延长OE交CD于点K，
设OF=x，EF=y，则OA=2y，
∵NE∥CB，EF⊥CB，NA切半圆O于点A，
∴四边形AFEN是矩形，
∴NE=AF=OA-OF=2y-x，
同（2）证法一，得E是OK的中点，
∴N是CK的中点，
∴CO=2NE=2（2y-x），
∴CF=CO-OF=4y-3x，
∵EF⊥AB，CE⊥EO，
∴Rt△CEF∽Rt△EOF，
∴EF²=CF·OF，即y²=x（4y-3x），
解得

y

x

=3或

y

x

=1，
当

y

x

=3时，tan∠EOC=

EF

OF

=

y

x

=3，
当

y

x

=1时，点C与点A重合，不符合题意，故舍去，
∴tan∠EOC=3．
（1）证明：如图，连接OD，
则OD为半圆O的半径
∵OC为半圆M的直径
∴∠CDO=90°
∴CD是半圆O的切线；

（2）解：猜想：EF=

1

2

OA．
证明：如图2，
连接OD、OE，延长OE交CD于点K，作EG⊥CD于点G，则EG∥OD，
∵CE平分∠DCB，
∴∠OCE=∠KCE．
∵EF⊥AB，
∴EG=EF．
∵OC是半圆M的直径，E为半圆M上的一点，
∴∠CEO=∠CEK=90°．
∵CE为公共边，
∴△COE≌△CKE．
∴OE=KE．
∵EG∥OD，
∴DG=GK．
∴EF=EG=

1

2

OD=

1

2

OA．

（3）解：如图3，
延长OE交CD于点K，
设OF=x，EF=y，则OA=2y，
∵NE∥CB，EF⊥CB，NA切半圆O于点A，
∴四边形AFEN是矩形，
∴NE=AF=OA-OF=2y-x，
同（2）证法一，得E是OK的中点，
∴N是CK的中点，
∴CO=2NE=2（2y-x），
∴CF=CO-OF=4y-3x，
∵EF⊥AB，CE⊥EO，
∴Rt△CEF∽Rt△EOF，
∴EF²=CF·OF，即y²=x（4y-3x），
解得

y

x

=3或

y

x

=1，
当

y

x

=3时，tan∠EOC=

EF

OF

=

y

x

=3，
当

y

x

=1时，点C与点A重合，不符合题意，故舍去，
∴tan∠EOC=3．