试题

（2006·自贡）在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=CD，连接CE．
（1）求证：CE=CA；
（2）在上述条件下，若AF⊥CE于点F，且AF平分∠DAE，CD：AE=3：8，求cos∠ACF的值．

（1）证明：∵BE∥CD，BE=CD，
∴四边形DBEC为平行四边形．
∴CE=DB．
∵DB=AC，
∴CE=CA．

（2）解：延长EC交AD的延长线于G，
∵CD∥AE
∴

CD

AE

=

GC

GE

=

3

8

，设GC=3a，则GE=8a，故CE=5a，
∵△AEG为等腰三角形，
∴GF=EF=4a，于是CF=GF-GC=a，
则CA=CE=5a．（7分）
∴cos∠ACF=

1

5

．
（1）证明：∵BE∥CD，BE=CD，
∴四边形DBEC为平行四边形．
∴CE=DB．
∵DB=AC，
∴CE=CA．

（2）解：延长EC交AD的延长线于G，
∵CD∥AE
∴

CD

AE

=

GC

GE

=

3

8

，设GC=3a，则GE=8a，故CE=5a，
∵△AEG为等腰三角形，
∴GF=EF=4a，于是CF=GF-GC=a，
则CA=CE=5a．（7分）
∴cos∠ACF=

1

5

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