试题

（2008·甘南州）如图，AB是半圆O的直径，F是半圆上一点，D是OA上一点，过点D作ED⊥AB，交半圆于点C，交BF的延长线于点E，连接AC，AF，BC．
（1）求证：∠E=∠BCF；
（2）求证：BC²=BF·BE；
（3）若BC=12，CF=6，BF=9，求sin∠AFC．

（1）证明：∵∠1=∠2，∠AFB=90°，
∴∠2+∠ABF=90°；
∵∠ABF+∠E=90°，
∴∠E=∠1，即∠E=∠BCF；

（2）证明：在△BCE与△BFC中，∠E=∠BCF，∠CBF=∠CBF；
故△BCE∽△BFC，∴

BF

BC

=

BC

BE

，即BC²=BF·BE；

（3）解：将半圆补全，延长ED，交⊙O于K．
∵BC²=BF·BE，BC=12，BF=9；
∴BE=

144

9

；
∴CE=

144

9

×

1

12

×6=

144

18

=8；
∴EF=EB-FB=

144

9

-9=

63

9

=7；
∵EF·EB=EC·EK，即7×

144

9

=8×（8+2CD）；解得CD=3．
在Rt△BCD中，BC=12；因此sin∠DBC=

CD

BD

=

3

12

=

1

4

．
又因为∠AFC=∠DBC，所以sin∠AFC=

1

4

．
（1）证明：∵∠1=∠2，∠AFB=90°，
∴∠2+∠ABF=90°；
∵∠ABF+∠E=90°，
∴∠E=∠1，即∠E=∠BCF；

（2）证明：在△BCE与△BFC中，∠E=∠BCF，∠CBF=∠CBF；
故△BCE∽△BFC，∴

BF

BC

=

BC

BE

，即BC²=BF·BE；

（3）解：将半圆补全，延长ED，交⊙O于K．
∵BC²=BF·BE，BC=12，BF=9；
∴BE=

144

9

；
∴CE=

144

9

×

1

12

×6=

144

18

=8；
∴EF=EB-FB=

144

9

-9=

63

9

=7；
∵EF·EB=EC·EK，即7×

144

9

=8×（8+2CD）；解得CD=3．
在Rt△BCD中，BC=12；因此sin∠DBC=

CD

BD

=

3

12

=

1

4

．
又因为∠AFC=∠DBC，所以sin∠AFC=

1

4

．