试题

（2008·枣庄）已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=

15

．
（1）求EM的长；
（2）求sin∠EOB的值．

解：如图，（1）∵DC为⊙O的直径，
∴DE⊥EC（1分）
∵DC=8，DE=

15

∴EC=

DC2-DE2

=

64-15

=7（2分）
设EM=x，由于M为OB的中点，
∴BM=2，AM=6，
由相交弦定理AM·MB=EM·CM，（3分）
即6×2=x（7-x），x²-7x+12=0
解这个方程，得x₁=3，x₂=4
∵EM＞MC
∴EM=4；（5分）

（2）∵OE=EM=4
∴△OEM为等腰三角形
过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF=

1

2

OM=1
∴EF=

OE2-OF2

=

16-1

=

15

∴sin∠EOB=

15

4

．（8分）
解：如图，（1）∵DC为⊙O的直径，
∴DE⊥EC（1分）
∵DC=8，DE=

15

∴EC=

DC2-DE2

=

64-15

=7（2分）
设EM=x，由于M为OB的中点，
∴BM=2，AM=6，
由相交弦定理AM·MB=EM·CM，（3分）
即6×2=x（7-x），x²-7x+12=0
解这个方程，得x₁=3，x₂=4
∵EM＞MC
∴EM=4；（5分）

（2）∵OE=EM=4
∴△OEM为等腰三角形
过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF=

1

2

OM=1
∴EF=

OE2-OF2

=

16-1

=

15

∴sin∠EOB=

15

4

．（8分）