试题

题目：
（1998·浙江）在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AB=2，AD是BC边上的高线，过点C，D的⊙O交AC于点青果学院E，连接BE交⊙O于点F．
（1）求BF·BE的值；
（2）设AE=x，用x的代数式表示△BDF的面积；
（3）如果△BDF的面积是
3
7
，求tan∠ABE的值．
答案
解：（1）在Rt△ABC中，AD⊥BC，由射影定理得：
BD·BC=AB2=4；
由切割线定理得：BD·BC=BF·BE，即BF·BE=4．

（2）在Rt△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，
则：AD=
3
，AC=2
3
，BD=1，BC=4；
过E作EM⊥BC于M，则△CEM∽△CAD，
∴EM：AD=CE：CA=（2
3
-x）：2
3
，青果学院
∴S△ACE：S△ABC=EM：AD=（2
3
-x）：2
3
，
∵S△ABC=
1
2
BC·AD=2
3
，∴S△ACE=2
3
-x；
连接DF，∵四边形CDFE是圆的内接四边形，
∴∠BFD=∠C，又∵∠FBD=∠CBE，
∴△FBD∽△CBE，
∴
S△FBD
S△CBE
=(
BD
BE
)2，
其中，BD2=1，BE2=4+x2，S△ACE=2
3
-x，
∴S△BDF=
2
3
-x
4+x2
．

（3）当△BDF的面积是
3
7
时，
2
3
-x
4+x2
=
3
7
，
化简得：
3
x2+7x-10
3
=0，解得x=
3
，x=-
10
3
（不合题意舍去），
∴tanABE=
AE
AB
=
3
2
．
解：（1）在Rt△ABC中，AD⊥BC，由射影定理得：
BD·BC=AB2=4；
由切割线定理得：BD·BC=BF·BE，即BF·BE=4．

（2）在Rt△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，
则：AD=
3
，AC=2
3
，BD=1，BC=4；
过E作EM⊥BC于M，则△CEM∽△CAD，
∴EM：AD=CE：CA=（2
3
-x）：2
3
，青果学院
∴S△ACE：S△ABC=EM：AD=（2
3
-x）：2
3
，
∵S△ABC=
1
2
BC·AD=2
3
，∴S△ACE=2
3
-x；
连接DF，∵四边形CDFE是圆的内接四边形，
∴∠BFD=∠C，又∵∠FBD=∠CBE，
∴△FBD∽△CBE，
∴
S△FBD
S△CBE
=(
BD
BE
)2，
其中，BD2=1，BE2=4+x2，S△ACE=2
3
-x，
∴S△BDF=
2
3
-x
4+x2
．

（3）当△BDF的面积是
3
7
时，
2
3
-x
4+x2
=
3
7
，
化简得：
3
x2+7x-10
3
=0，解得x=
3
，x=-
10
3
（不合题意舍去），
∴tanABE=
AE
AB
=
3
2
．
考点梳理
切割线定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
（1）由切割线定理知：BD·BC=BF·BE，那么必须先求出BD·BC的值，在Rt△ABC中，AD⊥BC，由射影定理得：BD·BC=AB2，由此得解．
（2）过E作EM⊥BC于M，通过相似三角形△CEM、△CAD，可求得EM、AD的比例关系，而△ABC、△EBC同底不等高，它们的面积比等于高的比，即EM、AD的比，△ABC的面积易求得，即可得到△EBC的面积表达式；在Rt△BAE中，利用勾股定理易求得BE的表达式，可证△BFD∽△BCE，它们的面积比等于相似比的平方，即（BE：BD）的平方，BD的值易求得，即可得到△BDF的表达式．
（3）将△BDF的面积代入（2）题所得的代数式中，即可求出x的值，进而可在Rt△ABE中求出∠ABE的正切值．
本题主要考查的是切割线定理，切线的性质定理，勾股定理，三角函数和相似三角形的性质．难点在于第（2）问，熟练掌握三角形面积的求法是解答此题的关键．
压轴题．
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