如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-4，0），点C为y轴上一动点，连接AC，过点C作CB⊥AC，交x轴于B．（1）当点B坐标为（1，0）时，求点C的坐标；（2）如果sinA和co...-青果题库-青果学院

题目：

（2001·金华）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-4，0），点C为y轴上一动点，连接AC，过点青果学院

C作CB⊥AC，交x轴于B．
（1）当点B坐标为（1，0）时，求点C的坐标；
（2）如果sinA和cosA是关于x的一元二次方程x²+ax+b=0的两个实数根，过原点O作OD⊥AC，垂足为D，且点D的纵坐标为a²，求b的值．

答案

解：（1）在Rt△AOC中，AO²+OC²=AC²，∴4²+OC²=AC²． ①
在Rt△BOC中，BO²+OC²=BC²，∴1²+OC²=BC²． ②
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，∴AC²+BC²=5²． ③
由①、②两式可得AC²-BC²=15，
与第③式联立可解得BC=

5

，AC=2

5

．
∴OC=2．
∴点C的坐标为（0，2）．

（2）∵sinA和cosA是关于x的一元二次方程x²+ax+b=0的两个实数根，
∴sinA+cosA=-a，sinA·cosA=b．
又∵sinA²+cosA²=1，
青果学院

则sinA²+cosA²=（sinA+cosA）²-2sinA·cosA=a²-2b=1．
∴a²=2b+1①，
在Rt△ADE中，sinA=

DE

AD

，
在Rt△AOD中，cosA=

AD

OA

，
∴sinA·cosA=

DE

AD

·

AD

OA

=

DE

OA

=

a2

4

=b，
∴a²=4b②，
由①②，可得b=

1

2

．
解：（1）在Rt△AOC中，AO²+OC²=AC²，∴4²+OC²=AC²． ①
在Rt△BOC中，BO²+OC²=BC²，∴1²+OC²=BC²． ②
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，∴AC²+BC²=5²． ③
由①、②两式可得AC²-BC²=15，
与第③式联立可解得BC=

5