试题

题目：
（2002·呼和浩特）a、b、c是△ABC的三边，a、b、c满足等式（2b）2=4（c+a）（c-a），且有5a-3c=0，求sinA+sinB+sinC的值．
答案
解：由（2b）2=4（c+a）（c-a）得b2=c2-a2即c2=a2+b2∴△ABC是直角三角形，∠C=90°
由5a-3c=0得，
a
c
=
3
5

即sinA=
3
5

设a=3，则c=5
由勾股定理得b=
c2-a2
=
52-32
=4
故sinB=
b
c
=
4
5
，sinC=sin90°=1
故sinA+sinB+sinC=
3
5
+
4
5
+1=
12
5
．
解：由（2b）2=4（c+a）（c-a）得b2=c2-a2即c2=a2+b2∴△ABC是直角三角形，∠C=90°
由5a-3c=0得，
a
c
=
3
5

即sinA=
3
5

设a=3，则c=5
由勾股定理得b=
c2-a2
=
52-32
=4
故sinB=
b
c
=
4
5
，sinC=sin90°=1
故sinA+sinB+sinC=
3
5
+
4
5
+1=
12
5
．
考点梳理
勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义．
根据三角形的三边关系可以判定三角形的形状，根据5a-3c=0可求出sinA的值，再根据勾股定理可求出另一直角边与其余边的比值，再计算即可．
本题比较简单考查的是锐角三角函数的定义．
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