试题

题目：
（2003·随州）已知，⊙O与直线l相切于点C，直径AB∥l，P是l上C点左边（不包括C点）一动点，AP交⊙O于D，BP交⊙O于E，DE的延长线交l于F．
（1）当PC＜AO时，如图1，线段PF与FC的大小关系是
相等
相等
．结合图1，证明你的结论；
（2）当PC＞AO时，AP的反向延长线交⊙O于D，其它条件不变，如图2，（1）中所得结论是否仍然成立？
答：
成立
成立
；（不证明）
（3）如图2，当tan∠APB=
1
2
，tan∠ABE=
1
3
，AP=
2
时，求PF的长．青果学院
答案
相等

成立

青果学院解：（1）PF=FC．
证明：∵四边形ABED内接与⊙O，
∴∠PDE=∠B．
∵AB∥l，
∴∠B=∠EPF．
∴∠PDE=∠EPF．
∴△PFE∽△DFP．
∴
PF
PE
=
DF
FP
．
∴PF2=EF·FD．
∵CF切⊙O于C，
∴CF2=FE·FD．
∴PF2=CF2即PF=CF．

（2）成立．

（3）连接AE．
⊙O中，∵AB是直径，∴AE⊥PB
在Rt△APE中，由tan∠APB=
1
2
，
设AE=x，则PE=2x．
由AP2=AE2+PE2，得x=
10
5

∴AE=
10
5
，EP=
2
10
5

在Rt△AEB中，BE=
AE
tan∠ABE
=
3
10
5

⊙O中PC切⊙O于C，
∴PC2=PE·PB=PE·（PE+EB）=
2
10
5
·（
2
10
5
+
3
10
5
）=4．
∴PC=2．
∴PF=
1
2
PC=1．
考点梳理
切线的性质；切割线定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
（1）由于FC2=FE·FD，因此只要证PF2=FE·FD即可，可以通过证三角形PEF和DPF相似来解．证这两个三角形相似关键是求∠DPF=∠PEF，可通过等角的补角相等来证，∠DEP是圆内接四边形ADEB的外角，∠DEP=∠A，而∠A是∠DPF的补角（平行线间的同旁内角），∠DEP是∠PEF的补角，由此可得证．
（2）证法同（1）．
（3）求PF，关键是求PC的长，也就是求出PE，BE的长．连接AE，那么可在直角三角形APE中，根据∠APE的正切值和勾股定理可以求出AE，PE的长，然后用AE的长，在直角三角形ABE中根据∠B的正切值求出BE的长，那么根据切割线定理得出的PC2=PE·PB，可求出PC的长，也就求出了PF的长．
本题主要考查了切割线定理，相似三角形的性质以及解直角三角形等知识点，通过线段的比例关系来求解是本题的基本思路．
压轴题；探究型．
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