试题

（2011·西城区二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，AB=10，CD=4，连接并延长BD到E，使DE=BD，作
EF⊥AB，交BA的延长线于点F．
（1）求tan∠ABD的值；（2）求AF的长．

解：（1）作DM⊥AB于点M，CN⊥AB于点N．（如图）
∵AB∥DC，DM⊥AB，CN⊥AB，
∴∠DMN=∠CNM=∠MDC=90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∵CD=4，
∴MN=CD=4，
∵在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，
∴∠DAB=∠CBA，DM=CN，
∴△ADM≌△BCN，
又∵AB=10，
∴AM=BN=

1

2

（AB-MN）=

1

2

×（10-4）=3，
∴MB=BN+MN=7．（2分）
∵在Rt△AMD中，∠AMD=90°，AD=5，AM=3，
∴DM=

AD2-AM2

=4，
∴tan∠ABD=

DM

BM

=

4

7

．（3分）

（2）∵EF⊥AB，
∴∠F=90°，
∵∠DMN=90°，
∴∠F=∠DMN，
∴DM∥EF，
∴△BDM∽△BEF，
∵DE=BD，
∴

BM

BF

=

BD

BE

=

1

2

，
∴BF=2BM=14．（4分）
∴AF=BF-AB=14-10=4．（5分）
解：（1）作DM⊥AB于点M，CN⊥AB于点N．（如图）
∵AB∥DC，DM⊥AB，CN⊥AB，
∴∠DMN=∠CNM=∠MDC=90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∵CD=4，
∴MN=CD=4，
∵在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，
∴∠DAB=∠CBA，DM=CN，
∴△ADM≌△BCN，
又∵AB=10，
∴AM=BN=

1

2

（AB-MN）=

1

2

×（10-4）=3，
∴MB=BN+MN=7．（2分）
∵在Rt△AMD中，∠AMD=90°，AD=5，AM=3，
∴DM=

AD2-AM2

=4，
∴tan∠ABD=

DM

BM

=

4

7

．（3分）

（2）∵EF⊥AB，
∴∠F=90°，
∵∠DMN=90°，
∴∠F=∠DMN，
∴DM∥EF，
∴△BDM∽△BEF，
∵DE=BD，
∴

BM

BF

=

BD

BE

=

1

2

，
∴BF=2BM=14．（4分）
∴AF=BF-AB=14-10=4．（5分）