试题

菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：
①BF为∠ABE的角平分线； ②DF=2BF；③2AB²=DF·DB；④sin∠BAE=

EF

AF

．
其中正确的为（　　）
A．②③
B．①②④
C．①③④
D．①④

C
解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴BF为∠ABE的角平分线，
故①正确；

②连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD，
∴当∠ABC=60°时，△ABC是等边三角形，
即AB=AC，
则DF=2BF，
∵∠ABC的度数不定，
∴DF不一定等于2BF；
故②错误；

③∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠FAD=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=

1

2

DB，AD=AB，
∴∠AOD=∠FAD=90°，
∵∠ADO=∠FDO，
∴△AOD∽△FAD，
∴AD：DF=OD：AD，
∴AD²=DF·OD，
∴AB²=DF·

1

2

DB，
即2AB²=DF·DB；
故③正确；

④连接CF，
在△ABF和△CBF中，

AB=CB ∠ABF=∠CBF BF=BF

，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BCF=∠BAE，AF=CF，
在Rt△EFC中，sin∠ECF=

EF

CF

=

EF

AF

，
∴sin∠BAE=

EF

AF

．
故④正确．
故选C．