试题

题目：
青果学院如图，△ABC内接于⊙O，其外角平分线AD交⊙O于DM⊥AC于M，下列结论：
①DB=DC；②AC-AB=2AM；③AC+AB=2CM；④DH=AD·sin∠A=
12
5
k，2AH=
AD2-DH2
=
16
5
k
其中正确的有（　　）



答案
B
青果学院解：过点D作DF⊥BE，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠FAD=∠BCD，
∵外角平分线AD交⊙O于D，
∴∠FAD=∠DAC，
又∵∠DBC=∠DAC，
∴∠BCD=∠CBD，
∴①DB=DC，故此选项正确；
∵AD外角平分线，DF⊥BE，DM⊥AC于M，
∴DF=DM，
又∵∠DFA=∠DMC=90°，∠ABD=∠ACD，
∴Rt△BFD≌Rt△CMD，
∴BF=CM，
又∵AF=AM，
∴②AC-AB=CM+AM-AB=CM+AM-CM+AF=CM+AM-CM+AM=2AM，故此选项正确；
∴③AC+AB=AM+MC+BF-FA=AM+MC+MC-AM=2CM，故此选项正确；
无法证明④是正确的．
故选B．
考点梳理
三角形的外接圆与外心；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
由A、B、C、D四点共圆，可得∠FAD=∠BCD，由同弧所对的圆周角相等得到圆周角相等，结合外角平分线可得∠BCD=∠CBD，可得BD=CD；过点D作DF⊥BE，可以通过证明三角形全等，通过边的关系可以得到②AC-AB=2AM，③AC+AB=2CM都是正确的；而没有理由证明④是正确的．
本题考查了圆周角、三角形的外角的性质及全等三角形的判定与性质；作出辅助线，利用三角形全等是正确解答本题的关键．
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