试题

题目：
青果学院如图，⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，AC与BD相交于点P．
（1）判断△APB与△DPC是否相似？并说明理由；
（2）设∠BPC=α，如果sinα是方程5x2-13x+6=0的根，求cosα的值；
（3）在（2）的条件下，求弦CD的长？
答案
解：（1）相似；
∵∠A=∠D，∠APB=∠DPC
∴△APB∽△DPC；

（2）连接BC．
∵AB在直径，
∴AC⊥BC，
∴∠PCB为直角，
∵5x2-13x+6=0，
∴（x-2）（5x-3）=0；
解得：x1=2（不符合题意），x2=
3
5
；
∴sinα=
3
5
，∴cosα=
4
5
；青果学院

（3）在（2）成立的条件下，得：cosα=
4
5
．
∵AB在直径，
∴AC⊥BC，
∴
PC
PB
=cosα=
4
5
，
又∵
CD
AB
=
PC
PB
，AB=10，
∴
CD
10
=
4
5
，
∴CD=8．
解：（1）相似；
∵∠A=∠D，∠APB=∠DPC
∴△APB∽△DPC；

（2）连接BC．
∵AB在直径，
∴AC⊥BC，
∴∠PCB为直角，
∵5x2-13x+6=0，
∴（x-2）（5x-3）=0；
解得：x1=2（不符合题意），x2=
3
5
；
∴sinα=
3
5
，∴cosα=
4
5
；青果学院

（3）在（2）成立的条件下，得：cosα=
4
5
．
∵AB在直径，
∴AC⊥BC，
∴
PC
PB
=cosα=
4
5
，
又∵
CD
AB
=
PC
PB
，AB=10，
∴
CD
10
=
4
5
，
∴CD=8．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-因式分解法；圆周角定理；锐角三角函数的定义．
（1）根据圆周角定理，可得出△CPD和△BPA的两组对应角相等，由此可判定两个三角形相似；
（2）通过解方程可求出sinα的值（注意sinα的取值范围），进而可得出cosα的值；
（3）若连接BC，则∠ACB=90°，△BPC是直角三角形；根据cosα的值，即可求出PC、BC的比例关系式，根据（1）的相似三角形可得出CD：AB=CP：BP=cosα，由此可求出弦CD的长．
此题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的解法、锐角三角函数的定义等知识．
综合题．
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