试题

题目：
（2008·徐汇区二模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠C=90°，点F在BC边上（BF＞CF），AF⊥DF，AB=8，CD=3，青果学院BC=10．
求：（1）CF的长；
（2）tan∠FAD的值．
答案
青果学院解：（1）设CF=x，则BF=BC-CF=10-x，
∵∠B=∠C=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，
∵AF⊥DF，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠3，∠2=∠4，
∴Rt△ABF∽Rt△FCD，
∴
CF
AB
=
CD
BF
，即
x
8
=
3
10-x
，解得x=4或x=6（舍去）；

（2）当x=4时，BF=BC-CF=10-4=6，
在Rt△ABF中，AF=
AB2+BF2
=
82+62
=10，
在Rt△FCD中，FD=
CD2+CF2
=
32+42
=5，
∴tan∠FAD=
DF
AF
=
5
10
=
1
2
；
（当x=6时，BF=10-6=4，
在Rt△ABF中，AF=
AB2+BF2
=
82+42
=4
5
，
在Rt△FCD中，FD=
CD2+CF2
=
32+62
=3
5
，
∴tan∠FAD=
DF
AF
=
3
5
4
5
=
3
4
．）
青果学院解：（1）设CF=x，则BF=BC-CF=10-x，
∵∠B=∠C=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，
∵AF⊥DF，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠3，∠2=∠4，
∴Rt△ABF∽Rt△FCD，
∴
CF
AB
=
CD
BF
，即
x
8
=
3
10-x
，解得x=4或x=6（舍去）；

（2）当x=4时，BF=BC-CF=10-4=6，
在Rt△ABF中，AF=
AB2+BF2
=
82+62
=10，
在Rt△FCD中，FD=
CD2+CF2
=
32+42
=5，
∴tan∠FAD=
DF
AF
=
5
10
=
1
2
；
（当x=6时，BF=10-6=4，
在Rt△ABF中，AF=
AB2+BF2
=
82+42
=4
5
，
在Rt△FCD中，FD=
CD2+CF2
=
32+62
=3
5
，
∴tan∠FAD=
DF
AF
=
3
5
4
5
=
3
4
．）
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．
（1）先设CF=x，根据相似三角形的判定定理得出Rt△ABF∽Rt△FCD，由相似三角形的对应边成比例即可得出x的值；
（2）先根据勾股定理求出AF及DF的长，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可．
本题考查的是相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义，涉及面较广，难度适中．
探究型．
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