试题

（2009·静安区三模）如图，在△ABC中，AB=6，BC=4，点D在边BC的延长线上，∠ADC=∠BAC，点E在边BA的延长线上，∠E=∠DAC．
（1）找出图中的相似三角形，并证明；
（2）设AC=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）△AED能否与△ABC相似？如果能够，请求出cosB的值；如果不能，请说明理由．

解：（1）△ABC∽△DBA，△CAD∽△AED．（2分）
证明如下：∵∠B=∠B，∠ADC=∠BAC，
∴△ABC∽△DBA；
∵∠BAC+∠DAC=∠BAD=∠ADE+∠E，∠DAC=∠E，
∴∠BAC=∠ADE=∠ADC，
∴△CAD∽△AED；

（2）∵△ABC∽△DBA，
∴

BA

BD

=

BC

BA

=

AC

DA

，
∴DA=

AC·BA

BC

=

x·6

4

=

3x

2

，
∴BD=

BA2

BC

=

36

4

=9．
∴CD=5．
∵△CAD∽△AED，
∴

DE

DA

=

DA

CD

．
∴DE·CD=DA²，
∴5y=(

3

2

x)2，
∴函数解析式为y=

9

20

x2，定义域为2＜x＜10；

（3）△AED能与△ABC相似．
∵∠BAC=∠ADE=∠ADC，∠BCA＞∠ADC=∠ADE，∠BCA＞∠CAD=∠E，
∴只有∠B=∠E=∠DAC时，△AED与△ABC相似．（1分）
这时，由于∠B+∠BAC+∠CAD+∠ADC=180°，
∴∠BAC+∠DAC=90°，
∴∠ACB=∠BAD=90°，
∴cosB=

BC

AB

=

4

6

=

2

3

．
解：（1）△ABC∽△DBA，△CAD∽△AED．（2分）
证明如下：∵∠B=∠B，∠ADC=∠BAC，
∴△ABC∽△DBA；
∵∠BAC+∠DAC=∠BAD=∠ADE+∠E，∠DAC=∠E，
∴∠BAC=∠ADE=∠ADC，
∴△CAD∽△AED；

（2）∵△ABC∽△DBA，
∴

BA

BD

=

BC

BA

=

AC

DA

，
∴DA=

AC·BA

BC

=

x·6

4

=

3x

2

，
∴BD=

BA2

BC

=

36

4

=9．
∴CD=5．
∵△CAD∽△AED，
∴

DE

DA

=

DA

CD

．
∴DE·CD=DA²，
∴5y=(

3

2

x)2，
∴函数解析式为y=

9

20

x2，定义域为2＜x＜10；

（3）△AED能与△ABC相似．
∵∠BAC=∠ADE=∠ADC，∠BCA＞∠ADC=∠ADE，∠BCA＞∠CAD=∠E，
∴只有∠B=∠E=∠DAC时，△AED与△ABC相似．（1分）
这时，由于∠B+∠BAC+∠CAD+∠ADC=180°，
∴∠BAC+∠DAC=90°，
∴∠ACB=∠BAD=90°，
∴cosB=

BC

AB

=

4

6

=

2

3

．