试题

（2010·杨浦区二模）已知二次函数y=x²+bx+c的图象过点A（-1，3）和B（2，0），直线AB交y轴于点C，二次函数图象的顶点为D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P在射线AB上（不与点C重合），且△AOC∽△APO，试求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下求tan∠APD的值．

解：（1）∵二次函数y=x²+bx+c的图象过点A（-1，3）和B（2，0），
∴

3=1-b+c 0=4+2b+c

．（2分）
解得 b=-2，c=0．
∴y=x²-2x；                                        （2分）

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，则

3=-k+b 0=2k+b

．
解得 k=-1，b=2．
∴直线AB的解析式为y=-x+2，（1分）
∴C（0，2）．（1分）
∵点P在射线AB上，且△AOC∽△APO，
∴∠A=∠A，
∴AO²=AC×AP，即10=

2

·AP，
∴AP=5

2

．（1分）
∵点P在直线AB上，
∴设P（x，2-x），
∴(x+1)2+(2-x-3)2=(5

2

)2，
解得 x=4或-6（舍），
∴P（4，-2）．（1分）

（3）∵y=x²-2x，
∴顶点D（1，-1）．（1分）
连BD，作PH⊥x轴．
∵B（2，0），P（4，-2），
∴∠OBD=45°，∠HBP=45°，
∴∠DBP=90°，（1分）
∴tan∠APD=

BD

BP

=

2

2 2

=

1

2

．                         （2分）
解：（1）∵二次函数y=x²+bx+c的图象过点A（-1，3）和B（2，0），
∴

3=1-b+c 0=4+2b+c

．（2分）
解得 b=-2，c=0．
∴y=x²-2x；                                        （2分）

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，则

3=-k+b 0=2k+b

．
解得 k=-1，b=2．
∴直线AB的解析式为y=-x+2，（1分）
∴C（0，2）．（1分）
∵点P在射线AB上，且△AOC∽△APO，
∴∠A=∠A，
∴AO²=AC×AP，即10=

2

·AP，
∴AP=5

2

．（1分）
∵点P在直线AB上，
∴设P（x，2-x），
∴(x+1)2+(2-x-3)2=(5

2

)2，
解得 x=4或-6（舍），
∴P（4，-2）．（1分）

（3）∵y=x²-2x，
∴顶点D（1，-1）．（1分）
连BD，作PH⊥x轴．
∵B（2，0），P（4，-2），
∴∠OBD=45°，∠HBP=45°，
∴∠DBP=90°，（1分）
∴tan∠APD=

BD

BP

=

2

2 2

=

1

2

．                         （2分）