试题

 初始问题：如图1，已知两个同心圆，直线AD分别交大⊙O于点A、D，交小⊙O于点B、C．
AB与CD相等吗？请证明你的结论．
类比研究：如图2，若两个等边三角形ABC和A₁ B₁ C₁的中心（点O）相同，且满足AB∥A₁B₁，BC∥B₁C₁，AC∥A₁C₁，可知AB与A₁B₁，BC与B₁C₁，AC与A₁C₁之间的距离相等．
直线MQ分别交三角形的边于点M、N、P、Q，与AB所成夹角为∠α（30°＜∠α＜90°）．
（1）求

MN

PQ

（用含∠α的式子表示）；
（2）求∠α等于多少度时，MN=PQ．

解：【初始问题】结论：AB=CD，
证明：如图，作OE⊥AD于E，
∴AE=ED，BE=EC，
∴AE-BE=ED-EC，
即 AB=CD，

【类比研究】（1）如图，作ND⊥AB于D，PE⊥AC于E，
则 ND=PE，
∵AB∥A₁B₁，
∴∠1=∠α，
∵等边三角形A₁ B₁ C₁中，∠A₁=60°，
∴∠2=120°-∠1=120°-∠α，
∵AC∥A₁C₁，
∴∠PQE=∠2=120°-∠α，
∵30°＜∠α＜90°，
∴30°＜120°-∠α＜90°，
∴在Rt△MDN和Rt△QEP中，
DN=MN·sin∠α，PE=PQ·sin（120°-∠α），
∴MN·sin∠α=PQ·sin（120°-∠α），
∴

MN

PQ

=

sin(120°-∠α)

sin∠α

，

（2）当120°-∠α=∠α时，即∠α=60°时，MN=PQ．
解：【初始问题】结论：AB=CD，
证明：如图，作OE⊥AD于E，
∴AE=ED，BE=EC，
∴AE-BE=ED-EC，
即 AB=CD，

【类比研究】（1）如图，作ND⊥AB于D，PE⊥AC于E，
则 ND=PE，
∵AB∥A₁B₁，
∴∠1=∠α，
∵等边三角形A₁ B₁ C₁中，∠A₁=60°，
∴∠2=120°-∠1=120°-∠α，
∵AC∥A₁C₁，
∴∠PQE=∠2=120°-∠α，
∵30°＜∠α＜90°，
∴30°＜120°-∠α＜90°，
∴在Rt△MDN和Rt△QEP中，
DN=MN·sin∠α，PE=PQ·sin（120°-∠α），
∴MN·sin∠α=PQ·sin（120°-∠α），
∴

MN

PQ

=

sin(120°-∠α)

sin∠α

，

（2）当120°-∠α=∠α时，即∠α=60°时，MN=PQ．