试题

题目：
青果学院如图，AB是半圆的直径
（1）用直尺和圆规作半圆弧AB的四等分点（记为C，D，E）（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若半圆的直径是2cm，分别求出点C，D，E三点到直线AB的距离；
（3）直接写出tan22.5°的值．（
2
取1.4，结果保留2个有效数字）
答案
青果学院解：（1）如图，点C、D、E为半圆的四等分点，
（2）连接OD，过C、E两点作AB的垂线，垂足分别为F、G，
由圆心角的性质可知△ABD，△COF，△EOG都为等腰直角三角形，且OD=OC=OE=1，
∴CF=EG=OC·sin45°=
2
2
，
∴三个距离分别是
2
2
cm，
2
2
cm，1cm，
（3）tan22.5°=0.41．
青果学院解：（1）如图，点C、D、E为半圆的四等分点，
（2）连接OD，过C、E两点作AB的垂线，垂足分别为F、G，
由圆心角的性质可知△ABD，△COF，△EOG都为等腰直角三角形，且OD=OC=OE=1，
∴CF=EG=OC·sin45°=
2
2
，
∴三个距离分别是
2
2
cm，
2
2
cm，1cm，
（3）tan22.5°=0.41．
考点梳理
垂径定理；勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义．
（1）先作直径AB的垂直平分线交半圆于D点，连接AD、BD，过O点分别作AD、BD的垂线，交半圆于C、E两个，则C、D、E为半圆的四等分点；
（2）由图可知△ABD，△COF，△EOG都为等腰直角三角形，由OD=OC=OE=1，解直角三角形可求CF，OD，EG的长；
（3）连接AE，因为
DE
=
EB
，可知AE平分∠DAB，即∠EAB=
1
2
∠DAB=22.5°，解Rt△AEG可求tan22.5°的值．
本题考查了垂径定理的运用，圆心角、圆周角的性质及锐角三角函数．关键是通过画图，发现特殊直角三角形．
作图题．
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