试题

题目：
青果学院如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，BC=3，CD=1．
（1）求证：tan∠AEC=
BC
CD
；
（2）请探究BM与DM的数量关系，并给出证明．
答案
（1）证明：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°；
∵△ABC∽△CDE，
∴
AC
EC
=
BC
CD
，
∵在Rt△ACE中，tan∠AEC=
AC
EC
，
∴tan∠AEC=
BC
CD
；青果学院

（2）BM=DM．
证明：过点M作MN⊥BD，垂足为N，
∵∠ABC=∠EDC=90°，
∴AB⊥BD，ED⊥BD，
∴AB∥MN∥ED，
∴AM：EM=BN：DN，
∵点M是AE的中点，
即AM=EM，
∴BN=DN，
∴BM=DM．
（1）证明：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°；
∵△ABC∽△CDE，
∴
AC
EC
=
BC
CD
，
∵在Rt△ACE中，tan∠AEC=
AC
EC
，
∴tan∠AEC=
BC
CD
；青果学院

（2）BM=DM．
证明：过点M作MN⊥BD，垂足为N，
∵∠ABC=∠EDC=90°，
∴AB⊥BD，ED⊥BD，
∴AB∥MN∥ED，
∴AM：EM=BN：DN，
∵点M是AE的中点，
即AM=EM，
∴BN=DN，
∴BM=DM．
考点梳理
等腰直角三角形；梯形中位线定理；锐角三角函数的定义．
（1）由△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，易证得∠ACE=90°，△ABC∽△CDE，即可得
AC
EC
=
BC
CD
，又由在Rt△ACE中，tan∠AEC=
AC
EC
，即可证得tan∠AEC=
BC
CD
；
（2）首先过点M作MN⊥BD，垂足为N，易得AB∥MN∥ED，又由点M是AE的中点，易得N是BD的中点，然后利用线段垂直平分线的性质，即可证得BM=DM．
此题考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、线段垂直平分线的性质以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
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