试题

（2010·黄浦区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC形内一点，且∠APB=∠APC=135°．
（1）求证：△CPA∽△APB；
（2）试求tan∠PCB的值．

解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC=45°，即∠PAC+∠PAB=45°，
又在△APB中，∠APB=135°，
∴∠PBA+∠PAB=45°，
∴∠PAC=∠PBA，
又∠APB=∠APC，
∴△CPA∽△APB．

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴

CA

AB

=

1

2

，
又∵△CPA∽△APB，
∴

CP

PA

=

PA

PB

=

CA

AB

=

1

2

，
令CP=k，则PA=

2

k，PB=2k，
又在△BCP中，∠BPC=360°-∠APC-∠APB=90°，
∴tan∠PCB=

PB

PC

=2．
解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC=45°，即∠PAC+∠PAB=45°，
又在△APB中，∠APB=135°，
∴∠PBA+∠PAB=45°，
∴∠PAC=∠PBA，
又∠APB=∠APC，
∴△CPA∽△APB．

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴

CA

AB

=

1

2

，
又∵△CPA∽△APB，
∴

CP

PA

=

PA

PB

=

CA

AB

=

1

2

，
令CP=k，则PA=

2

k，PB=2k，
又在△BCP中，∠BPC=360°-∠APC-∠APB=90°，
∴tan∠PCB=

PB

PC

=2．