试题

（2013·枣阳市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC²=PE·PO
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下，求sin∠PCA的值．

（1）证明：连接OC，
∵PC²=PE·PO，
∴

PC

PE

=

PO

PC

，
∵∠P=∠P，
∴△PCO∽△PEC，
∴∠PCO=∠PEC，
∵CD⊥AB，
∴∠PEC=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：设OE=x，
∵OE：EA=1：2，
∴AE=2x，
∵PC²=PA·PB，
∴PA·PB=PE·PO，
∵PA=6，
∴（6+2x）（6+3x）=6（6+6x），
解得，x=1，
∴OA=3x=3，
∴⊙O的半径为3．

（3）解：连接BC，
∵PC²=PA·PB，
∴PC=6

2

，
∴CE=

PC2-PE2

=

72-64

=2

2

，
∴BC=

CE2+BE2

=

8+16

=2

6

，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCA=∠B，
∴sin∠PCA=sin∠B=

CE

BC

=

2 2

2 6

=

3

3

．
（1）证明：连接OC，
∵PC²=PE·PO，
∴

PC

PE

=

PO

PC

，
∵∠P=∠P，
∴△PCO∽△PEC，
∴∠PCO=∠PEC，
∵CD⊥AB，
∴∠PEC=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：设OE=x，
∵OE：EA=1：2，
∴AE=2x，
∵PC²=PA·PB，
∴PA·PB=PE·PO，
∵PA=6，
∴（6+2x）（6+3x）=6（6+6x），
解得，x=1，
∴OA=3x=3，
∴⊙O的半径为3．

（3）解：连接BC，
∵PC²=PA·PB，
∴PC=6

2

，
∴CE=

PC2-PE2

=

72-64

=2

2

，
∴BC=

CE2+BE2

=

8+16

=2

6

，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCA=∠B，
∴sin∠PCA=sin∠B=

CE

BC

=

2 2

2 6

=

3

3

．