试题

如图，直线y=

3

4

x-3分别与y轴、x轴交于点A，B，抛物线y=-

1

2

x²+2x+2与y轴交于点C，此抛物线的对称轴分别与BC，x轴交于点P，Q．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：AP垂直平分线段BC．

证明：（1）∵y=

3

4

x-3，
∴x=0时，y=-3，
∴A（0，-3），
当y=0时，x=4，
∴B（4，0），
∵y=-

1

2

x²+2x+2，
∴x=0时，y=2，
∴C（0，2）．
∴OA=3，OB=4，OC=2．
∴AC=OA+OC=5．
AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5．
∴AB=AC．

（2）∵抛物线y=-

1

2

x²+2x+2，
∴y=-

1

2

（x²-4x+4-4）+2
=-

1

2

（x-2）²+4
∴对称轴是直线x=2，
∴点Q的坐标为（2，0）．
∴OQ=BQ=2．
∵PQ∥y轴，
∴△BPQ∽△BCO．
∴

BP

BC

=

BQ

BO

=

2

4

=

1

2

．
∴BP=PC，
∵AB=AC，∴AP⊥BC．
∴AP垂直平分线段BC．
证明：（1）∵y=

3

4

x-3，
∴x=0时，y=-3，
∴A（0，-3），
当y=0时，x=4，
∴B（4，0），
∵y=-

1

2

x²+2x+2，
∴x=0时，y=2，
∴C（0，2）．
∴OA=3，OB=4，OC=2．
∴AC=OA+OC=5．
AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5．
∴AB=AC．

（2）∵抛物线y=-

1

2

x²+2x+2，
∴y=-

1

2

（x²-4x+4-4）+2
=-

1

2

（x-2）²+4
∴对称轴是直线x=2，
∴点Q的坐标为（2，0）．
∴OQ=BQ=2．
∵PQ∥y轴，
∴△BPQ∽△BCO．
∴

BP

BC

=

BQ

BO

=

2

4

=

1

2

．
∴BP=PC，
∵AB=AC，∴AP⊥BC．
∴AP垂直平分线段BC．