试题

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（-2，-2），半径为

2

．函数y=-x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点
（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数．

（1）解：延长CO交AB于M，过C作CN⊥x轴于N，
∵C（-2，-2），
∴CN=ON=2，
∴∠C=∠NOC=45°，
∵y=-x+2，
当x=0时，y=2，
当y=0时，x=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴OA=OB=2，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵∠MOA=∠NOC=45°，
∴∠OMA=180°-45°-45°=90°，
∴CO⊥AB．

（2）解：y=-x+2，令y=0，得A（2，0），
令x=0，得B（0，2），
①当OA=OP时，P在B点，此时△POA是等腰三角形；
②当AO=AP时，过P作PH⊥OA于H，设P的坐标是（x，-x+2），
∵在△APH中，根据勾股定理得：PA²=PH²+AH²，
∵PH=-x+2，AH=2-x，
∴PA²=（-x+2）²+（2-x）²，OA²=2²，
∴（x-2）²+（-x+2）²=2²
解得：x=2±

2

，
当x=2+

2

时，-x+2=-

2

；
当x=2-

2

时，-x+2=

2

；
∴P（2+

2

，-

2

）或（2-

2

，

2

）；
③当OP=AP时，作OA的垂直平分线交AB于P，此时AP=OP，
且P的横坐标是

1

2

×2=1，
代入y=-x+2得：y=-1+2=1，
∴P（1，1）；
综合上述，P的坐标是（0，2）或（2+

2

，-

2

）或（2-

2

，

2

）或（1，1）．

（3）解：设PO切⊙C于D，连接CD，
则∠CDO=90°，CD=

2

，
OC=

ON2+CN2

=2

2

，
∴sin∠DOC=

CD

OC

=

2

2 2

=

1

2

，
∴∠DOC=30°，
∴∠DON=∠AOP=45°-30°=15°，
同理求出是另一条切线时，∠AOP=45°+30°=75°，
答：∠POA的度数是15°或75°．
（1）解：延长CO交AB于M，过C作CN⊥x轴于N，
∵C（-2，-2），
∴CN=ON=2，
∴∠C=∠NOC=45°，
∵y=-x+2，
当x=0时，y=2，
当y=0时，x=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴OA=OB=2，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵∠MOA=∠NOC=45°，
∴∠OMA=180°-45°-45°=90°，
∴CO⊥AB．

（2）解：y=-x+2，令y=0，得A（2，0），
令x=0，得B（0，2），
①当OA=OP时，P在B点，此时△POA是等腰三角形；
②当AO=AP时，过P作PH⊥OA于H，设P的坐标是（x，-x+2），
∵在△APH中，根据勾股定理得：PA²=PH²+AH²，
∵PH=-x+2，AH=2-x，
∴PA²=（-x+2）²+（2-x）²，OA²=2²，
∴（x-2）²+（-x+2）²=2²
解得：x=2±

2

，
当x=2+

2

时，-x+2=-

2

；
当x=2-

2

时，-x+2=

2

；
∴P（2+

2

，-

2

）或（2-

2

，

2

）；
③当OP=AP时，作OA的垂直平分线交AB于P，此时AP=OP，
且P的横坐标是

1

2

×2=1，
代入y=-x+2得：y=-1+2=1，
∴P（1，1）；
综合上述，P的坐标是（0，2）或（2+

2

，-

2

）或（2-

2

，

2

）或（1，1）．

（3）解：设PO切⊙C于D，连接CD，
则∠CDO=90°，CD=

2

，
OC=

ON2+CN2

=2

2

，
∴sin∠DOC=

CD

OC

=

2

2 2

=

1

2

，
∴∠DOC=30°，
∴∠DON=∠AOP=45°-30°=15°，
同理求出是另一条切线时，∠AOP=45°+30°=75°，
答：∠POA的度数是15°或75°．