试题

如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．
（1）求AD的长；
（2）求cosA的值（结果保留根号）．

解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠C=∠ABC=

1

2

（180°-∠A）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°=∠A，
∴AD=BD，
∵∠C=72°，∠CBD=36°，
∴由三角形内角和定理得：∠BDC=72°=∠C，
∴BD=BC=AD，
∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，
∴△ABC∽△BDC，
∴

BC

CD

=

AC

BC

，
∴BC²=AC×CD，
∵AD=BD=BC，
∴AD²=AC×CD=AC×（AC-AD），
解关于AD的方程得：AD=

5 -1

2

AC=

5 -1

2

，即AD=

5 -1

2

；

（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E．
由（1）知，AD=BD，则AE=

1

2

AB=

1

2

，
∴cosA=

AE

AD

，即

1 2

5 -1 2

=

5 -1

4

，
∴cosA的值是

5 -1

4

．
解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠C=∠ABC=

1

2

（180°-∠A）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°=∠A，
∴AD=BD，
∵∠C=72°，∠CBD=36°，
∴由三角形内角和定理得：∠BDC=72°=∠C，
∴BD=BC=AD，
∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，
∴△ABC∽△BDC，
∴

BC

CD

=

AC

BC

，
∴BC²=AC×CD，
∵AD=BD=BC，
∴AD²=AC×CD=AC×（AC-AD），
解关于AD的方程得：AD=

5 -1

2

AC=

5 -1

2

，即AD=

5 -1

2

；

（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E．
由（1）知，AD=BD，则AE=

1

2

AB=

1

2

，
∴cosA=

AE

AD

，即

1 2

5 -1 2

=

5 -1

4

，
∴cosA的值是

5 -1

4

．