试题

题目：
如图，等腰△ABC中，AB=BC，以AB为直径的半圆分别交AC、BC于D、E两点，BF与⊙O相切于点B，交AC的延长线于点F，连接AE．
（1）求证：D是AC的中点；
（2）若CD=CF=4，求⊙O的直径；
（3）sin∠CAE=k（k＞0），求
CF
AB
的值．青果学院
答案
青果学院（1）证明：连接DB，
∴AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴DB⊥AC．（2分）
又∵AB=BC．
∴D是AC的中点．（1分）

（2）解：在△ADB和△ABF中，
∵∠ADB=∠ABF=90°，∠DAB=∠FAB，
∴△ADB∽△ABF．（2分）
∴
AB
AF
=
AD
AB
，
∴
AB
12
=
4
AB
．（1分）
∴AB=4
3
（1分）

（3）解：∵∠CAE=∠CBD，
又∵∠CBD=∠ABD，
∠ABD=∠F，（2分）
∴sin∠CAE=sin∠F=k．
设AB=ak，AF=a，
由△ADB∽△ABF，
AB
AF
=
AD
AB
，得AD=ak2，（1分）
∴AC=2ak2，CF=a-2ak2；
∴
CF
AB
=
a-2ak2
ak
=
1-2k2
k
．（1分）
青果学院（1）证明：连接DB，
∴AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴DB⊥AC．（2分）
又∵AB=BC．
∴D是AC的中点．（1分）

（2）解：在△ADB和△ABF中，
∵∠ADB=∠ABF=90°，∠DAB=∠FAB，
∴△ADB∽△ABF．（2分）
∴
AB
AF
=
AD
AB
，
∴
AB
12
=
4
AB
．（1分）
∴AB=4
3
（1分）

（3）解：∵∠CAE=∠CBD，
又∵∠CBD=∠ABD，
∠ABD=∠F，（2分）
∴sin∠CAE=sin∠F=k．
设AB=ak，AF=a，
由△ADB∽△ABF，
AB
AF
=
AD
AB
，得AD=ak2，（1分）
∴AC=2ak2，CF=a-2ak2；
∴
CF
AB
=
a-2ak2
ak
=
1-2k2
k
．（1分）
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义．
（1）连接BD，由圆周角定理知BD⊥AF，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得D是AC的中点．
（2）若CD=CF=4，那么AD=4，易证得△ABD∽△AFB，根据所得比例相等即可求得AB的长．
（3）由圆周角定理知∠CAE=∠ABD，因此sin∠F=sin∠ABD=k，可设AB=ak，则AF=a，AD=ak2，进而可表示出AC、FC的值，即可得到CF、AB的比例关系．
此题主要考查了圆周角定理、等腰三角形三线合一的性质以及相似三角形的判定和性质，能够根据圆周角定理发现∠CAE和∠ABD的等量关系是解答（3）题的关键．
计算题；证明题．
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