试题

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2，BC=4，tan∠ADC=2．
（1）求证：DC=BC；
（2）E是梯形内一点，连接DE、CE，将△DCE绕点C顺时针旋转90°，得△BCF，连接EF．判断EF与CE的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当CE=2BE，∠BEC=135°时，求cos∠BFE的值．

解：（1）证明：作AP⊥DC于点P．
∵AB∥CD，∠ABC=90°，
∴四边形APCB是矩形，
∴PC=AB=2，AP=BC=4．
在Rt△ADP中，tan∠ADC=

AP

DP

即

AP

DP

=2，
∴DP=2，
∴DC=DP+PC=4=BC．

（2）EF=

2

CE．
证明如下：由△DCE绕点C顺时针旋转90°得△BCF，
∴CF=CE，∠ECF=90°，
∴EF=

CF2+CE2

=

2

CE．

（3）由（2）得∠CEF=45°．
∵∠BEC=135°，
∴∠BEF=90°．
设BE=a，则CE=2a，由EF=

2

CE，则EF=2

2

a
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF=3a，
∴cos∠BFE=

EF

BF

=

2 2

3

．
解：（1）证明：作AP⊥DC于点P．
∵AB∥CD，∠ABC=90°，
∴四边形APCB是矩形，
∴PC=AB=2，AP=BC=4．
在Rt△ADP中，tan∠ADC=

AP

DP

即

AP

DP

=2，
∴DP=2，
∴DC=DP+PC=4=BC．

（2）EF=

2

CE．
证明如下：由△DCE绕点C顺时针旋转90°得△BCF，
∴CF=CE，∠ECF=90°，
∴EF=

CF2+CE2

=

2

CE．

（3）由（2）得∠CEF=45°．
∵∠BEC=135°，
∴∠BEF=90°．
设BE=a，则CE=2a，由EF=

2

CE，则EF=2

2

a
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF=3a，
∴cos∠BFE=

EF

BF

=

2 2

3

．