试题

题目：
若a、b、c是△ABC的三边，a+c=2b，且方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等的实数根，sinA+sinB+sinC的值．
答案
解：将方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0化为一般形式为（c-a）x2+2bx+c+a=0，因为它有两个相等的实数根，所以c-a≠0，△=0，即4b2-4（c-a）（c+a）=0，a2+b2=c2．
所以△ABC是以c为斜边的直角三角形．
则有sinA+sinB+sinC=
a
c
+
b
c
+1=
a+b
c
+1，
又∵a+c=2b，则c=2b-a，代入a2+b2=c2，得3b=4a，令a=4t，则b=3t，c=5t，
∴sinA+sinB+sinC=
a+b
c
+1=
3t+4t
5t
+1=
12
5
．
解：将方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0化为一般形式为（c-a）x2+2bx+c+a=0，因为它有两个相等的实数根，所以c-a≠0，△=0，即4b2-4（c-a）（c+a）=0，a2+b2=c2．
所以△ABC是以c为斜边的直角三角形．
则有sinA+sinB+sinC=
a
c
+
b
c
+1=
a+b
c
+1，
又∵a+c=2b，则c=2b-a，代入a2+b2=c2，得3b=4a，令a=4t，则b=3t，c=5t，
∴sinA+sinB+sinC=
a+b
c
+1=
3t+4t
5t
+1=
12
5
．
考点梳理
根的判别式；锐角三角函数的定义．
先把方程化为一般形式，利用方程有两个相等的实数根，则△=0，得到a2+b2=c2，△ABC是以c为斜边的直角三角形；利用正弦的定义把sinA+sinB+sinC化为边的关系；又由a+c=2b和a2+b2=c2，求出三边的关系；最后计算sinA+sinB+sinC的值．
本题考查了一元二次方程根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根；同时考查了三角函数的定义和代数式变形的能力．
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