试题

题目：
青果学院（2010·上虞市模拟）如图，正方形ABCD中，M为DC的中点，N为BC上一点，BN=3NC，设∠MAN=α，则cosα的值等于（　　）



答案
A
青果学院解：设NC=a，则BN=3a，正方形的边长是4a．
在直角△ABN中，根据勾股定理可得：AN2=AB2+BN2=16a2+9a2=25a2，
则AN=5a；
在直角△ADM中，AM2=AD2+DM2=16a2+4a2=20a2，
则AM=2
5
a；
在直角△MNC中，MN2=NC2+MC2=a2+4a2=5a2．
∴AN2=NM2+AM2，
∴△ANM是直角三角形．
∴cosα=
AM
AN
=
2
5
a
5a
=
2
5
5
．
故选A．
考点梳理
正方形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．
设NC=a，则BN=3a，正方形的边长是4a．根据勾股定理的逆定理即可证得：△ANM是直角三角形．根据余弦的定义即可求解．
本题主要考查了正方形的性质，以及勾股定理的逆定理，正确证得△ANM是直角三角形是解题关键．
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