试题

题目：
青果学院（2012·郯城县一模）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则cosα=（　　）



答案
A
青果学院解：如图，过点D作DE⊥l1于点E并反向延长交l4于点F，
在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°，
∵∠α+∠ADE=90°，∠ADE+∠CDF=180°-90°=90°，
∴∠α=∠CDF，
在△ADE和△DCF中，
∠α=∠CDF
∠AED=∠DFC=90°
AD=DC
，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴DF=AE，
∵相邻两条平行直线间的距离都是1，
∴DE=1，AE=2，
根据勾股定理得，AD=
AE2+DE2
=
22+12
=
5
，
所以，cosα=
AE
AD
=
2
5
=
2
5
5
．
故选A．
考点梳理
全等三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．
过点D作DE⊥l1于点E并反向延长交l4于点F，根据同角的余角相等求出∠α=∠CDF，根据正方形的每条边都相等可得AD=DC，然后利用“AAS”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AE，再利用勾股定理列式求出AD的长度，然后根据锐角的余弦值等于邻边比斜边列式计算即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，锐角三角形函数的定义，作辅助线，构造出全等三角形以及∠α所在的直角三角形是解题的关键．
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