试题

方案设计：儿童公园有一块半圆形空地，如图11所示，根据需要欲在此半圆内划出一个三角形区域作为健身场地，其中内接于此三角形的矩形区域为儿童游乐场，已知半圆的直径AB=100米，若使三角形的顶点C在半圆上，且AC=80米．
那么请你帮设计人员计算一下：△ABC中，C到AB的距离是多少米？如果使矩形游乐场DEFN面积最大，此矩形的高DN应为何值？
在实际施工时，发现在AB上距B点18.5米处有一棵古树，那么这棵树是否位于最大游乐场的边上？若在，为保护古树，请你设计出另外的方案以避开古树．

解：（1）如图，∵AB是直径，且AB=100，AC=80，
∴BC=

1002-802

=60，（2分）
∴S△ABC=

1

2

AC·BC=

1

2

AB·h，（4分）
即60×80=100h，
∴h=48．
∴C到AB 距离为48米．（6分）

（2）设DN为x米，则∵△CNF∽△CAB，
∴

h-DN

h

=

NF

AB

．
∴NF=

100(48-x)

48

，（9分）
∴S矩形DEFN=x·

100(48-x)

48

=-

25

12

x2+100x，（11分）
当x=24时，游乐场面积最大．（12分）

（3）当游乐场面积最大时，DN=EF=24米，

EF

BE

=tan∠ABC=

AC

BC

=

8

6

=

4

3

，

DN

AD

=tan∠BAC=

BC

AC

=

6

8

=

3

4

．
易得BE=18米，AD=32米．（15分）
则BD=68米，又BM=18.5米，
∴BE＜BM＜BD，
∴大树位于欲修建的游乐场边上，应重新设计方案．（17分）
由圆的对称性，可把△ABC划分到半圆的左边．（20分）
解：（1）如图，∵AB是直径，且AB=100，AC=80，
∴BC=

1002-802

=60，（2分）
∴S△ABC=

1

2

AC·BC=

1

2

AB·h，（4分）
即60×80=100h，
∴h=48．
∴C到AB 距离为48米．（6分）

（2）设DN为x米，则∵△CNF∽△CAB，
∴

h-DN

h

=

NF

AB

．
∴NF=

100(48-x)

48

，（9分）
∴S矩形DEFN=x·

100(48-x)

48

=-

25

12

x2+100x，（11分）
当x=24时，游乐场面积最大．（12分）

（3）当游乐场面积最大时，DN=EF=24米，

EF

BE

=tan∠ABC=

AC

BC

=

8

6

=

4

3

，

DN

AD

=tan∠BAC=

BC

AC

=

6

8

=

3

4

．
易得BE=18米，AD=32米．（15分）
则BD=68米，又BM=18.5米，
∴BE＜BM＜BD，
∴大树位于欲修建的游乐场边上，应重新设计方案．（17分）
由圆的对称性，可把△ABC划分到半圆的左边．（20分）