试题

已知△ABC是锐角三角形．
（1）求证：2sinA＞cosB+cosC；
（2）若点M在边AC上，作△ABM和△CBM的外接圆，则当M在什么位置时，两外接圆的公共部分面积最小？

（1）证明：如图，作AD⊥BC．
因为△ABC是锐角三角形，
所以∠BAC、∠B、∠C为锐角，
又因为∠BAD+∠CAD=∠BAC，
所以∠BAC＞∠BAD，∠BAC＞∠DAC，
所以sin∠BAC＞sin∠BAD①，
sin∠BAC＞sin∠CAD②，
①+②得，2sin∠BAC＞sin∠BAD+sin∠CAD
又因为sin∠BAD=cos∠B，sin∠CAD=cos∠C，
所以2sin∠BAC＞cos∠B+cos∠C．

（2）解：如图，当BM⊥AC时，BM最短．
则弓形BmM和弓形BnM所对弦BM最短，
则两弓形面积最小，两外接圆的公共部分面积最小．
（1）证明：如图，作AD⊥BC．
因为△ABC是锐角三角形，
所以∠BAC、∠B、∠C为锐角，
又因为∠BAD+∠CAD=∠BAC，
所以∠BAC＞∠BAD，∠BAC＞∠DAC，
所以sin∠BAC＞sin∠BAD①，
sin∠BAC＞sin∠CAD②，
①+②得，2sin∠BAC＞sin∠BAD+sin∠CAD
又因为sin∠BAD=cos∠B，sin∠CAD=cos∠C，
所以2sin∠BAC＞cos∠B+cos∠C．

（2）解：如图，当BM⊥AC时，BM最短．
则弓形BmM和弓形BnM所对弦BM最短，
则两弓形面积最小，两外接圆的公共部分面积最小．