试题

题目：
在Rt△ABC中，∠C=90°，若周长为2
7
+4，斜边上中线为2．
（1）求这个直角三角形的面积；
（2）求这个直角三角形内切园的面积；
（3）若这个直角三角形两个锐角的正切tgA和tgB是一个一元二次方程的两个根，求这个一元二次方程？
答案
解：（1）设三边为a，b，c，
∵斜边上中线为2，
∴c=4
且
a+b=2
7
a2+b2=16
·
a+b=2
7
(a+b)2-2ab=16
·
a+b=2
7
ab=6
，
∴S△ABC=3，

（2）设内切圆半径为r，则r=
a+b-c
2
=
7
-2，
∴S内切圆=π(
7
-2)2，

（3）tgA·tgB=1，tgA+tgB=
a
b
+
b
a
=
a2+b2
ab
=
16
6
=
8
3
，
∴一元二次方程为x2-
8
3
x+1=0，
即3x2-8x+3=0．
解：（1）设三边为a，b，c，
∵斜边上中线为2，
∴c=4
且
a+b=2
7
a2+b2=16
·
a+b=2
7
(a+b)2-2ab=16
·
a+b=2
7
ab=6
，
∴S△ABC=3，

（2）设内切圆半径为r，则r=
a+b-c
2
=
7
-2，
∴S内切圆=π(
7
-2)2，

（3）tgA·tgB=1，tgA+tgB=
a
b
+
b
a
=
a2+b2
ab
=
16
6
=
8
3
，
∴一元二次方程为x2-
8
3
x+1=0，
即3x2-8x+3=0．
考点梳理
勾股定理；根与系数的关系；直角三角形斜边上的中线；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义．
（1）首先根据直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半，可得到c=4，再根据已知条件得到关于a，b的方程组，可解出ab=6，进而可得到直角三角形的面积．
（2）由（1）可解得a+b=2
7
，则内切圆半径=
a+b-c
2
，求出半径后再用圆的面积公式S=πr2，求出直角三角形内切圆的面积；
（3）根据条件直角三角形两个锐角的正切tgA和tgB是一个一元二次方程的两个根，求出tgA·tgB与tgA+tgB，再根据根与系数的关系写出方程即可．
此题主要考查了直角三角形的性质，根与系数的关系，三角形的内切圆与圆心，以及三角函数的应用，准确把握每个知识点是解题的关键，很多同学由于基础知识掌握不好导致错误的出现．
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