试题

（2004·武汉）已知：如图，⊙O₁与⊙O₂外切于C点，AB一条外公切线，A、B分别为切点，连接AC、BC．设⊙O₁的半径为R，⊙O₂的半径为r，若tan∠ABC=

2

，则

R

r

的值为（　　）
A．

2

B．

3

C．2
D．3

C
解：如图，连接O₂B，O₁A，过点C作两圆的公切线CF，交于AB于点F，作O₁E⊥AC，O₂D⊥BC，
由垂径定理可证得点E，点D分别是AC，BC的中点，
由弦切角定理知，
∠ABC=∠FCB=

1

2

∠BO₂C，∠BAC=∠FCA=

1

2

∠AO₁C，
∵AO₁∥O₂B，
∴∠AO₁C+∠BO₂C=180°，
∴∠FCB+∠FCA=∠ACB=90°，
即△ACB是直角三角形，
∴∠ABC=∠BO₂D=∠ACO₁，
设∠ABC=∠BO₂D=∠ACO₁=β，
则有sinβ=

BC

2r

，cosβ=

AC

2R

，
∴tanβ=

R

r

·

BC

AC

=

R

r

·

1

tanβ

，
∴（tanβ）²=

R

r

=2．
故选C．