试题

（2011·乐山）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G．下列结论：①tan∠HBE=cot∠HEB；②CG·BF=BC·CF；③BH=FG；④

BC2

CF2

=

BG

GF

．其中正确的序号是（　　）
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④

D
解：①∵在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF，
∴∠BEA=∠CFB，
∵CG∥AE，
∴∠GCB=∠AEB
∴∠CFG=∠GCB，
∴∠CFG+∠GCF=90°即△CGF为直角三角形，
∴CG∥AE交BF于点G，
∴△BHE也为直角三角形，
∴tan∠HBE=cot∠HEB；
∴①正确．
②由①可得△CGF∽△BCF，
∴

CG

BC

=

CF

BF

，
∴CG·BF=BC·CF，
∴②正确；
③由①得△BHE≌△CGF，
∴BH=CG，而不是BH=FG
∴③BH=FG错误；
④∵△BCG∽△BFC，
∴

BC

BF

=

BG

BC

，即BC²=BG·BF，
同理可得△BCF∽△CGF，
可得CF²=BF·GF，
∴

BC2

CF2

=

BG

GF

，
∴④正确，综上所述，正确的有①②④．
故选D．