试题

题目：
已知a、b、c、d是非零实数，并满足
a+b+c-d
d
=
a+b-c+d
c
=
a-b+c+d
b
=
-a+b+c+d
a
，则代数式
(a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d)
abcd
的值是（　　）



答案
C
解：∵
a+b+c-d
d
=
a+b-c+d
c
=
a-b+c+d
b
=
-a+b+c+d
a
，
∴
a+b+c
d
-
d
d
=
a+b+d
c
-
c
c
=
a+c+d
b
-
b
b
=
b+c+d
a
-
a
a
，
∴
a+b+c
d
-1=
a+b+d
c
-1=
a+c+d
b
-1=
b+c+d
a
-1，
∴
a+b+c
d
=
a+b+d
c
=
a+c+d
b
=
b+c+d
a
．
分两种情况：
①当a+b+c+d=0时，
(a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d)
abcd
=
(-d)(-a)(-c)(-b)
abcd
=1；
②当a+b+c+d≠0时，
设
a+b+c
d
=
a+b+d
c
=
a+c+d
b
=
b+c+d
a
=k，
则k=
(a+b+c)+(a+b+d)+(a+c+d)+(b+c+d)
d+c+b+a
=
3a+3b+3c+3d
a+b+c+d
=3，
a+b+c=3d，a+b+d=3c，a+c+d=3b，b+c+d=3a，
∴
(a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d)
abcd
=
3d·3a·3c·3b
abcd
=81．
综上可知，代数式
(a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d)
abcd
的值是1或81．
故选C．
考点梳理
比例的性质．
先由分式的加法法则将已知等式变形为
a+b+c
d
-
d
d
=
a+b+d
c
-
c
c
=
a+c+d
b
-
b
b
=
b+c+d
a
-
a
a
，得出
a+b+c
d
=
a+b+d
c
=
a+c+d
b
=
b+c+d
a
．再分两种情况讨论：①当a+b+c+d=0时，易求代数式
(a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d)
abcd
的值是1；②当a+b+c+d≠0时，设
a+b+c
d
=
a+b+d
c
=
a+c+d
b
=
b+c+d
a
=k，先根据等比性质得出k=3，则a+b+c=3d，a+b+d=3c，a+c+d=3b，b+c+d=3a，然后代入
(a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d)
abcd
，即可求出其值．
本题考查了比例的性质，分式加法法则的逆用，其中分类讨论是关键，本题有一定难度．
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