试题

大学生李某投资在沙坪坝学校密集的沙南街路段投资开办了一个学生文具店．该店在开学前8月31日采购进一种今年新上市的文具袋．9月份（9月1日至9月30日）进行30天的试销售，购进价格为20元/个．销售结束后，得知日销售量y（个）与销售时间x（天）之间有如下关系：y=-2x+80（1≤x≤30，且x为整数）；又知销售价格z（元/个）与销售时间x（天）之间的函数关系满足如图所示的函数图象．
（1）求z关于x的函数关系式；
（2）求出在这30天（9月1日至9月30日）的试销中，日销售利润ω（元）与销售时间x（天）之间的函数关系式；
（3）“十一”黄金周期间，李某采用降低售价从而提高日销售量的销售策略．10月1日全天，销售价格比9月30日的销售价格降低a%而日销售量就比9月30日提高了6a%（其中a为小于15 的正整数），日销售利润比9月份最大日销售利润少569元，求a的值．（参考数据：50²=2500，51²=2601，52²=2704）

（1）由图象知，当1≤x≤20时，设z=kx+b，
则有：

38=6k+b 45=20k+b

，
解得：

k= 1 2 b=35

，
即z=

1

2

x+35，
当20＜x≤30时z=45，
综上：z=

1 2 x+35，(1≤x≤20) 45，         (20＜x≤30)

；

（2）当1≤x≤20时，
W=yz-20y=（-2x+80）（

1

2

x+35）-20（-2x+80），
=-x²+10x+1200
当20＜x≤30时，
W=yz-20y=45（-2x+80）-20（-2x+80）
=-50x+2000，
即W=

-x2+10x+1200， (1≤x≤20) -50x+2000，(20＜x≤30)

；

（3）9月30日的价格为45元，日销售量为20个，
9月份当1≤x≤20时日销售利润为：
W=-x²+10x+1200=-（x²-10x+25）+1225=-（x-5）²+1225，
当9月5日时日利润最大为1225元．
当20＜x≤30时，利润为W=-50x+2000，
当x增加时W减小，故为x=21时最大．最大日销售利润为950元，
综上9月份日销售利润最大为1225元．
由题意得45（1-a%）·20（1+6a%）-20×20（1+6a%）=1225-569，
（1+6a%）[900（1-a%）-400]=656，
（1+6a%）（900-9a-400）=656，
（1+6a%）（500-9a）=656，
500-9a+30a-54a²%=656，
方程两边同乘以100得：
54a²-2100a+15600=0，
化简得9a²-350a+2600=0，
a₁=10，a₂=

260

9

（舍），
答：a的值为10．
（1）由图象知，当1≤x≤20时，设z=kx+b，
则有：

38=6k+b 45=20k+b

，
解得：

k= 1 2 b=35

，
即z=

1

2

x+35，
当20＜x≤30时z=45，
综上：z=

1 2 x+35，(1≤x≤20) 45，         (20＜x≤30)

；

（2）当1≤x≤20时，
W=yz-20y=（-2x+80）（

1

2

x+35）-20（-2x+80），
=-x²+10x+1200
当20＜x≤30时，
W=yz-20y=45（-2x+80）-20（-2x+80）
=-50x+2000，
即W=

-x2+10x+1200， (1≤x≤20) -50x+2000，(20＜x≤30)

；

（3）9月30日的价格为45元，日销售量为20个，
9月份当1≤x≤20时日销售利润为：
W=-x²+10x+1200=-（x²-10x+25）+1225=-（x-5）²+1225，
当9月5日时日利润最大为1225元．
当20＜x≤30时，利润为W=-50x+2000，
当x增加时W减小，故为x=21时最大．最大日销售利润为950元，
综上9月份日销售利润最大为1225元．
由题意得45（1-a%）·20（1+6a%）-20×20（1+6a%）=1225-569，
（1+6a%）[900（1-a%）-400]=656，
（1+6a%）（900-9a-400）=656，
（1+6a%）（500-9a）=656，
500-9a+30a-54a²%=656，
方程两边同乘以100得：
54a²-2100a+15600=0，
化简得9a²-350a+2600=0，
a₁=10，a₂=

260

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（舍），
答：a的值为10．