试题

如图，某中学校园有一块长为35m，宽为16m的长方形空地，其中有一面已经铺设长为26m的篱笆围墙，学校设计在这片空地上，利用这面围墙和用尽已有的可制作50m长的篱笆材料，围成一个矩形花园或围成一个半圆花园，请回答以下问题：
（1）能否围成面积为300m²的矩形花园？若能，请写出其中一种设计方案，若不能，请说明理由．
（2）若围成一个半圆花园，则该如何设计？请写出你的设计方案．（π取3.14）
（3）围成的各种设计中，最大面积是多少？

解：（1）设垂直于已经铺设长为26m的篱笆围墙的一边为xm，则平行于原篱笆的长为（50-2x）m，
根据题意得出：x（50-2x）=300，
解得：x₁=10，x₂=15，
当x=10，则50-20=30＞26，故不合题意舍去，
∴能围成面积为300m²的矩形花园，此时长为20m，宽为15m；

（2）∵当r=13时，∴l_半圆=πr=3.14×13=40.82＜50，
∴半圆的直径应大于26m，设新增加am，则半圆弧长为：π×

26+a

2

，
∴a+π×

26+a

2

=50，
解得：a≈3.57，
∴半圆直径为：26+3.57=29.57（m），
∴半圆的半径为：14.79m；

（3）S₁=x（50-2x）=-2x²+50x，
当x=12.5时，S_最大=

-2500

4×(-2)

=312.5（m²），
S_半圆=

1

2

π×14.79²≈343.43（m²），
∴围成的各种设计中，最大面积是半圆面积为343.43m²．
解：（1）设垂直于已经铺设长为26m的篱笆围墙的一边为xm，则平行于原篱笆的长为（50-2x）m，
根据题意得出：x（50-2x）=300，
解得：x₁=10，x₂=15，
当x=10，则50-20=30＞26，故不合题意舍去，
∴能围成面积为300m²的矩形花园，此时长为20m，宽为15m；

（2）∵当r=13时，∴l_半圆=πr=3.14×13=40.82＜50，
∴半圆的直径应大于26m，设新增加am，则半圆弧长为：π×

26+a

2

，
∴a+π×

26+a

2

=50，
解得：a≈3.57，
∴半圆直径为：26+3.57=29.57（m），
∴半圆的半径为：14.79m；

（3）S₁=x（50-2x）=-2x²+50x，
当x=12.5时，S_最大=

-2500

4×(-2)

=312.5（m²），
S_半圆=

1

2

π×14.79²≈343.43（m²），
∴围成的各种设计中，最大面积是半圆面积为343.43m²．