试题

重庆西永微电园入驻企业----方正集团开发了一种新型电子产品，是未来五年IT行业倍受青睐的产品．在五年销售期限内，方正集团每年对该产品最多可投入100万元销售投资，该集团营销部门根据市场分析，对该产品的销售投资收益拟定了两种销售方案：
方案一：只在国内销售，每投入x万元，每年可获得利润P与x关系如下表所示：

x （万元）	…	50	60	70	80	…
P（万元）	…	40	41	40	37	…

方案二：五年销售期限内，每年均投入100万元销售投资．前两年中，每年拨出50万元用于筹备国际营销平台，两年筹备完成，完成前该产品只能在国内销售；国际营销平台完成后的3年中，该产品既在国内销售，也在国外销售，在国内销售的投资收益仍满足方案一，而在国外销售的投资收益为：每年投入x万元，可获年利润Q=-

99

100

(100-x)2+

294

5

(100-x)+160（万元）．
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出P与x之间的函数关系式，并求出选择方案一该集团每年所获利润的最大值．
（2）若选择方案二，设后3年中每年用于国内销售的投入为n（万元），则n为何值时可使这5年所获总利润（扣除筹备国际营销平台资金后）最大？并求出该最大值．
（3）方正集团的国际营销平台也可销售该集团其它产品，方正集团决定将另一种产品也销往国外．已知，该产品在国内销售情况为：售价y（元/件）与销量a（件）的函数关系式为y=-

1

100

a+120，成本为20元/件；国外销售情况为：价格为120元/件，国外销售成本为40元/件．该集团要将8000件产品全部销售完并获得312000元的利润，该集团该怎样安排国内的销售量？（精确到个位）
（参考数据：

2

≈1.414

3

≈1.732

5

≈2.236）

解：（1）根据图表可得：x=50或70时，y=40，此函数为二次函数顶点坐标为（60，41），
得到p=a（x-60）²+41，
将（50，40）代入得出：
40=a（50-60）²+41，
解得：a=-

1

100

，
函数解析式为：P=-

1

100

(x-60)2+41，（2分）
当x=60时P有最大值41．（3分）

（2）方案二，在前2年中，当x=50时，每年最大利润为：P=-

1

100

(50-60)2+41=40（万元），
前2年的利润为：40×2=80（万元），
扣除筹备资金后的纯利润为：80-50×2=-20（万元）．（4分）
国际营销平台筹备完成后，每年用n万元投资本地销售，则其总利润：W=[-

1

100

(n-60)2+41+(-

99

100

n2+

294

5

n+160)]×3，
=-3n²+180n+495，
=-3（n-30）²+3195．
当n=30时，W的最大值为3195万元，（6分）
∴5年的最大利润为3195-20=3175（万元），（7分）

（3）设在国内销售a件，
由题意可知：（-

1

100

a+120-20）a+80（8000-a）=312000，（8分）
化简可得：a²-2000a-32800000=0，（9分）
解得：a1=

2000+5200 5

2

，a2=

2000-5200 5

2

（舍），
∴a≈6814．
答：集团该安排国内的销售量为6814件．
解：（1）根据图表可得：x=50或70时，y=40，此函数为二次函数顶点坐标为（60，41），
得到p=a（x-60）²+41，
将（50，40）代入得出：
40=a（50-60）²+41，
解得：a=-

1

100

，
函数解析式为：P=-

1

100

(x-60)2+41，（2分）
当x=60时P有最大值41．（3分）

（2）方案二，在前2年中，当x=50时，每年最大利润为：P=-

1

100

(50-60)2+41=40（万元），
前2年的利润为：40×2=80（万元），
扣除筹备资金后的纯利润为：80-50×2=-20（万元）．（4分）
国际营销平台筹备完成后，每年用n万元投资本地销售，则其总利润：W=[-

1

100

(n-60)2+41+(-

99

100

n2+

294

5

n+160)]×3，
=-3n²+180n+495，
=-3（n-30）²+3195．
当n=30时，W的最大值为3195万元，（6分）
∴5年的最大利润为3195-20=3175（万元），（7分）

（3）设在国内销售a件，
由题意可知：（-

1

100

a+120-20）a+80（8000-a）=312000，（8分）
化简可得：a²-2000a-32800000=0，（9分）
解得：a1=

2000+5200 5

2

，a2=

2000-5200 5

2

（舍），
∴a≈6814．
答：集团该安排国内的销售量为6814件．