试题

如图是王老师休假钓鱼时的一张照片，鱼杆前部分近似呈抛物线的形状，后部分呈直线形．已知抛物线上关于对称轴对称的两点B，C之间的距离为2米，顶点O离水面的高度为2

2

3

米，人握的鱼杆底端D离水面1

1

3

米，离拐点C的水平距离1米，且仰角为45°，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）试根据上述信息确定抛物线BOC和CD所在直线的函数表达式；
（2）当继续向上拉鱼使其刚好露出水面时，钓杆的倾斜角增大了15°，直线部分的长度变成了1米（即ED长为1米），顶点向上增高

2

3

米，且右移

1

2

米（即顶点变为F），假设钓鱼线与人手（点D）的水平距离为2

1

4

米，那么钓鱼线的长度为多少米？

解：（1）由已知，得C(1，-

1

3

)．
设抛物线BOC的函数表达式为y=ax²．
则a=-

1

3

，所以y=-

1

3

x2．
(1，-

1

3

)，(2，-1

1

3

)
得

k+b=- 1 3 2k+b=- 4 3 .

解得k=-1，b=

2

3

．
所以y=-x+

2

3

；

（2）由已知，得E(

3

2

，

3

2

-

4

3

)，F(

1

2

，

2

3

)．
设这时抛物线的函数表达式为y=m(x-

1

2

)2+

2

3

．
则m(

3

2

-

1

2

)2+

2

3

=

3

2

-

4

3

．
所以m=

3

2

-2．
所以y=(

3

2

-2)(x-

1

2

)2+

2

3

，
又由已知A点的横坐标为-

1

4

，得A(-

1

4

，

27 3 -44

96

)．
所以钓鱼线的最小长度为

27 3 +212

96

米．
解：（1）由已知，得C(1，-

1

3

)．
设抛物线BOC的函数表达式为y=ax²．
则a=-

1

3

，所以y=-

1

3

x2．
(1，-

1

3

)，(2，-1

1

3

)
得

k+b=- 1 3 2k+b=- 4 3 .

解得k=-1，b=

2

3

．
所以y=-x+

2

3

；

（2）由已知，得E(

3

2

，

3

2

-

4

3

)，F(

1

2

，

2

3

)．
设这时抛物线的函数表达式为y=m(x-

1

2

)2+

2

3

．
则m(

3

2

-

1

2

)2+

2

3

=

3

2

-

4

3

．
所以m=

3

2

-2．
所以y=(

3

2

-2)(x-

1

2

)2+

2

3

，
又由已知A点的横坐标为-

1

4

，得A(-

1

4

，

27 3 -44

96

)．
所以钓鱼线的最小长度为

27 3 +212

96

米．