试题

如图，在一块正方形ABCD木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方60元、80元、40元．
探究1：如果木板边长为2米，FC=1米，则一块木板用墙纸的费用需元；
探究2：如果木板边长为1米，当FC的长为多少时，一块木板需用墙纸的费用最省？最省是多少元？
探究3：设木板的边长为a（a为整数），当正方形EFCG的边长为多少时？墙纸费用最省．

解：（1）∵CF=1，BC=2，
∴BF=1，
∴S_△ABE=

1

2

×2×1=1，S_{正方形EFCG}=1，S_空白=4-1-1=2，
∴一块木板用墙纸的费用需=1×60+1×80+2×40=220（元）；

（2）设EF=xm，BF=（1-x）m，总费用为y元，
正方形EGFC的面积=x²，△ABE的面积=

1-x

2

，
则空白面积为：1-x²-

1-x

2

，
故总费用为：y=60x²+80×

1-x

2

+40×（1-x²-

1-x

2

）
=20x²-20x+60=20（x-

1

2

）²+55，
故当x=

1

2

时，总费用最省为55；

（3）设FC=xm，则BF=（a-x）m，总费用为y元，
∴S_△ABE=

1

2

·（a-x）·a=

1

2

（a²-ax），S_{正方形EFCG}=x²，S_空白=a²-

1

2

（a²-ax）-x²=-x²+

1

2

ax+

1

2

a²，
∴y=

1

2

（a²-ax）×80+x²·60+（-x²+

1

2

ax+

1

2

a²）·40
=20x²-20ax+60a²=20（x-

1

2

a）²+55a²，
故当x=

1

2

a时，y有最小值，即墙纸费用最省，
答：当正方形EFCG的边长为

1

2

a时墙纸费用最省．