试题

北京红螺食品公司生产的各种果脯一直受到大众的喜爱，尤其是该公司生产的桃脯特别香甜可口．但由于该公司某经销点存货有限，在2011年1到5月该经销点每月桃脯的销量y₁（千克）与月份x（1≤x≤5，x为整数）的关系如下表所示：

x（月）	1	2	3	4	5
y1（千克）	150	75	50	37.5	30

6月份由于鲜桃的大量上市，红螺公司进行大量采购与加工，所以在6到12月该经销点每月桃脯的销量y₂（千克）与月份x（6≤x≤12，x为整数）的函数关系为：y₂=30x-30；
已知在1到5月该经销点每千克桃脯的价格p₁（元）与月份x（1≤x≤5，x为整数）的函数关系为：p1=-5x2+30x；而在6到12月每千克桃脯的价格p₂（元）与月份x（6≤x≤12，x为整数）的关系满足如下函数图象；
（1）请观察图中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数、二次函数的有关知识直接写出y₁与x的函数关系式，根据如图所示的变换趋势，直接写出p₂与x之间满足的一次函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）试求出该经销点在哪个月桃脯的销售额最大，最大为多少元；
（3）为满足市场所需，红螺公司决定在2012年将此种桃脯作为海外出口的首推品，所以在今年1到4月该经销点在去年获得最大销售额的基础上，每月的总销量都上涨了15a%，且其中的

1

3

是用于出口，剩余部分由经销点国内销售，每月出口桃脯的售价每千克降低了0.8a%，而国内销售的桃脯价格每千克上涨了0.1a%，这样该经销点1到4月销售桃脯的总额为142560元，试求出a的值．（参考数据：32²=1024，33²=1089，34²=1156，35²=1225）

解：（1）设y₁与x之间的函数关系式为：y₁=

k1

x

，
由题意，得150=k₁，
则y₁=

150

x

（1≤x≤5），
设p₂与x之间的函数关系式为：p₂=k₂x+b，
由题意，得

42=6k2+b 34=10k2+b

，
解得

k2=-2 b=54

，
则P₂=-2x+54（6≤x≤12，且 x为整数）；
（2）设销售额为W元，1≤x≤5的整数时，
W₁=y₁·P₁=

150

x

（-5x²+30x））=-750x+4500，
∵k=-750＜0，
∴W₁随x的增大而减小，
∴x=1，W_1大=3750元，
当6≤x≤12时，
W₂=y₂·P₂=（30x-30）（-2x+54）=-60x²+1680x-1620，
∵-

b

2a

=-

1680

-120

=14，
∵-60＜0，x＜14，
∴此时，W₂随x增大而增大
∴x=12，W_2大=9900元＞W_1大，
∴当x=12时，W_大=9900；
（3）当x=12时，售价P=-2×12+54=30元，
当x=12时，销量y=30×12-30=330kg．
由题意，得

1

3

×330（1+15a%）×30（1-0.8a%）+

2

3

×330（1+15a%）×30（1+0.1a%）=142560÷4，
令a%=t，则方程变为

1

3

×330（1+15t）×30（1-0.8t）+

2

3

×330（1+15t）×30（1+0.1t）=35640，
则330（1+15t）[10-8t+20+2t]=35640，
（1+15t）（30-6t）=108，
（1+15t）（5-t）=18，
∴-15t²+74t-13=0，
15t²-74t+13=0，
t=

74±2 1174

30

=

37± 1174

15

=

37±34

15

，
t₁=4.7此时1-0.8t＜0，
故舍去，
t₂=

3

15

=

1

5

=20%，
则a=20．
解：（1）设y₁与x之间的函数关系式为：y₁=

k1

x

，
由题意，得150=k₁，
则y₁=

150

x

（1≤x≤5），
设p₂与x之间的函数关系式为：p₂=k₂x+b，
由题意，得

42=6k2+b 34=10k2+b

，
解得

k2=-2 b=54

，
则P₂=-2x+54（6≤x≤12，且 x为整数）；
（2）设销售额为W元，1≤x≤5的整数时，
W₁=y₁·P₁=

150

x

（-5x²+30x））=-750x+4500，
∵k=-750＜0，
∴W₁随x的增大而减小，
∴x=1，W_1大=3750元，
当6≤x≤12时，
W₂=y₂·P₂=（30x-30）（-2x+54）=-60x²+1680x-1620，
∵-

b

2a

=-

1680

-120

=14，
∵-60＜0，x＜14，
∴此时，W₂随x增大而增大
∴x=12，W_2大=9900元＞W_1大，
∴当x=12时，W_大=9900；
（3）当x=12时，售价P=-2×12+54=30元，
当x=12时，销量y=30×12-30=330kg．
由题意，得

1

3

×330（1+15a%）×30（1-0.8a%）+

2

3

×330（1+15a%）×30（1+0.1a%）=142560÷4，
令a%=t，则方程变为

1

3

×330（1+15t）×30（1-0.8t）+

2

3

×330（1+15t）×30（1+0.1t）=35640，
则330（1+15t）[10-8t+20+2t]=35640，
（1+15t）（30-6t）=108，
（1+15t）（5-t）=18，
∴-15t²+74t-13=0，
15t²-74t+13=0，
t=

74±2 1174

30

=

37± 1174

15

=

37±34

15

，
t₁=4.7此时1-0.8t＜0，
故舍去，
t₂=

3

15

=

1

5

=20%，
则a=20．