试题

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售单价y与上市时间t的关系可以近似地用图①的一条折线表示；西红柿的种植成本单价z与上市时间t的关系可以近似地用图②的一段抛物线表示．

（1）直接写出图①表示的市场销售单价y与时间t的函数关系式；
（2）求出图②中表示的种植成本单价z与上市时间t的函数关系式；
（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的西红柿纯收益单价最大？最大是多少？
（注：市场销售单价和各种植成本单价的单位：元/100kg，时间单位：天）

解：（1）设函数图象为y=kt+b，
当0≤t≤200时，由图可知点（0，300），（200，100）在函数图象上，
代入解析式得：

b=300 200k+b=100

，
解得：

k=-1 b=300

，
∴y=-t+300
同理可得：
当200≤t≤300时，解析式为y=2t-300，
故销售单价y与时间t的函数关系式为：

y=-t+300(0≤t≤200) y=2t-300(200≤t≤300)

；
（2）根据图象，设函数解析式为z=a（t-150）²+100，
把点（50，150）代入解析式的：150=a×10000+100，
解得：a=

1

200

，
故解析式为：z=

1

200

（t-150）²+100；
（3）设t时刻的纯收益为h，则由题意得h=y-z，即
h=

-t+300- 1 200 (t-150)2-100(0≤t≤200) 2t-300- 1 200 (t-150)2-100(200≤t≤300)

，
当0≤t≤200时，配方整理得：
h=-

1

200

（t-50）²+100，
当t=50时，h取得区间[0，200]上的最大值100
当200≤t≤300时，配方整理得：
h=-

1

200

（t-350）²+100，
当t=300时，h取得区间[200，300]上的最大值87.5
综上，由100＞87.5可知，h在区间[0，300]上可以取得最大值100，
此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大，最大为100元．
解：（1）设函数图象为y=kt+b，
当0≤t≤200时，由图可知点（0，300），（200，100）在函数图象上，
代入解析式得：

b=300 200k+b=100

，
解得：

k=-1 b=300

，
∴y=-t+300
同理可得：
当200≤t≤300时，解析式为y=2t-300，
故销售单价y与时间t的函数关系式为：

y=-t+300(0≤t≤200) y=2t-300(200≤t≤300)

；
（2）根据图象，设函数解析式为z=a（t-150）²+100，
把点（50，150）代入解析式的：150=a×10000+100，
解得：a=

1

200

，
故解析式为：z=

1

200

（t-150）²+100；
（3）设t时刻的纯收益为h，则由题意得h=y-z，即
h=

-t+300- 1 200 (t-150)2-100(0≤t≤200) 2t-300- 1 200 (t-150)2-100(200≤t≤300)

，
当0≤t≤200时，配方整理得：
h=-

1

200

（t-50）²+100，
当t=50时，h取得区间[0，200]上的最大值100
当200≤t≤300时，配方整理得：
h=-

1

200

（t-350）²+100，
当t=300时，h取得区间[200，300]上的最大值87.5
综上，由100＞87.5可知，h在区间[0，300]上可以取得最大值100，
此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大，最大为100元．