试题

小明参加汽车驾驶培训，在实际操作考试时，被要求进行启动加速、匀速运行、制动减速三个连贯过程，在加速和减速运动过程中，路程和速度均满足关系s=v0t+

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at2，v₀为加速或减速的起始速度，加速时a为正，减速时a为负，匀速时a=0，加速或减速t秒后的瞬时速度v=v₀+at，小明在操作中瞬时速度v与时间t的关系如图所示，其中OA为匀加速，AB为匀速，BC为匀减速．
（1）若减速过程与加速过程完全相反，即BC与OA关于AB的中垂线成轴对称，求BC的解析式．
（2）当0≤t≤300时，求汽车行驶的路程s与时间t的函数关系式．
（3）汽车行驶t秒后，
①若经途中D点，过点D作垂线交AB于点E，试证明汽车行驶的路程恰等于四边形OAED的面积．
②若汽车行驶至M点，过点M做垂线交BC于点N，汽车行驶的路程是否等于五边形OABNM的面积呢？试说明理由．

（1）解：∵BC与OA关于AB的中垂线成轴对称，
∴点C的坐标为（500，0），
设BC的解析式为y=kt+b，
把点B（300，120），（500，0）代入得，

300k+b=120 500k+b=0

，
解得

k=- 3 5 b=300

，
所以，BC的解析式为y=-

3

5

t+300（300≤t≤500）；

（2）解：∵200秒时的速度为120，
∴0+200a=120，
解得a=0.6，
∴①0≤t≤200时，S=0·t+

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2

at²=

1

2

×0.6×t²=0.3t²；
②200＜t≤300时，S=0.3×200²+120（t-200）=120t-12000；

（3）证明：①汽车经途中D点时，S=120t-12000，
此时，AE=t-200，OD=t，
∴四边形OAED的面积=

1

2

（t-200+t）×120=120t-12000，
∴汽车行驶的路程恰等于四边形OAED的面积；
②∵从300秒时开始减速，
∴运动至点M时，瞬时速度y=120+a（t-300），
运动至M点，S=120×300-12000+120（t-300）+

1

2

a（t-300）²，
=

1

2

a（t-300）²+120（t-300）+24000，
∵AB=300-200=100，
五边形OABNM的面积=

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2

（100+300）×120+

1

2

[120+a（t-300）+120]×（t-300），
=24000+

1

2

a（t-300）²+120（t-300），
所以，汽车行驶的路程等于五边形OABNM的面积．
（1）解：∵BC与OA关于AB的中垂线成轴对称，
∴点C的坐标为（500，0），
设BC的解析式为y=kt+b，
把点B（300，120），（500，0）代入得，

300k+b=120 500k+b=0

，
解得

k=- 3 5 b=300

，
所以，BC的解析式为y=-

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t+300（300≤t≤500）；

（2）解：∵200秒时的速度为120，
∴0+200a=120，
解得a=0.6，
∴①0≤t≤200时，S=0·t+

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at²=

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×0.6×t²=0.3t²；
②200＜t≤300时，S=0.3×200²+120（t-200）=120t-12000；

（3）证明：①汽车经途中D点时，S=120t-12000，
此时，AE=t-200，OD=t，
∴四边形OAED的面积=

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（t-200+t）×120=120t-12000，
∴汽车行驶的路程恰等于四边形OAED的面积；
②∵从300秒时开始减速，
∴运动至点M时，瞬时速度y=120+a（t-300），
运动至M点，S=120×300-12000+120（t-300）+

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a（t-300）²，
=

1

2

a（t-300）²+120（t-300）+24000，
∵AB=300-200=100，
五边形OABNM的面积=

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2

（100+300）×120+

1

2

[120+a（t-300）+120]×（t-300），
=24000+

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a（t-300）²+120（t-300），
所以，汽车行驶的路程等于五边形OABNM的面积．