题目:

小明参加汽车驾驶培训,在实际操作考试时,被要求进行启动加速、匀速运行、制动减速三个连贯过程,在加速和减速运动过程中,路程和速度均满足关系s=
v0t+at2,v
0为加速或减速的起始速度,加速时a为正,减速时a为负,匀速时a=0,加速或减速t秒后的瞬时速度v=v
0+at,小明在操作中瞬时速度v与时间t的关系如图所示,其中OA为匀加速,AB为匀速,BC为匀减速.
(1)若减速过程与加速过程完全相反,即BC与OA关于AB的中垂线成轴对称,求BC的解析式.
(2)当0≤t≤300时,求汽车行驶的路程s与时间t的函数关系式.
(3)汽车行驶t秒后,
①若经途中D点,过点D作垂线交AB于点E,试证明汽车行驶的路程恰等于四边形OAED的面积.
②若汽车行驶至M点,过点M做垂线交BC于点N,汽车行驶的路程是否等于五边形OABNM的面积呢?试说明理由.
答案
(1)解:∵BC与OA关于AB的中垂线成轴对称,
∴点C的坐标为(500,0),
设BC的解析式为y=kt+b,
把点B(300,120),(500,0)代入得,
,
解得
,
所以,BC的解析式为y=-
t+300(300≤t≤500);
(2)解:∵200秒时的速度为120,
∴0+200a=120,
解得a=0.6,
∴①0≤t≤200时,S=0·t+
at
2=
×0.6×t
2=0.3t
2;
②200<t≤300时,S=0.3×200
2+120(t-200)=120t-12000;
(3)证明:①汽车经途中D点时,S=120t-12000,
此时,AE=t-200,OD=t,
∴四边形OAED的面积=
(t-200+t)×120=120t-12000,

∴汽车行驶的路程恰等于四边形OAED的面积;
②∵从300秒时开始减速,
∴运动至点M时,瞬时速度y=120+a(t-300),
运动至M点,S=120×300-12000+120(t-300)+
a(t-300)
2,
=
a(t-300)
2+120(t-300)+24000,
∵AB=300-200=100,
五边形OABNM的面积=
(100+300)×120+
[120+a(t-300)+120]×(t-300),
=24000+
a(t-300)
2+120(t-300),
所以,汽车行驶的路程等于五边形OABNM的面积.
(1)解:∵BC与OA关于AB的中垂线成轴对称,
∴点C的坐标为(500,0),
设BC的解析式为y=kt+b,
把点B(300,120),(500,0)代入得,
,
解得
,
所以,BC的解析式为y=-
t+300(300≤t≤500);
(2)解:∵200秒时的速度为120,
∴0+200a=120,
解得a=0.6,
∴①0≤t≤200时,S=0·t+
at
2=
×0.6×t
2=0.3t
2;
②200<t≤300时,S=0.3×200
2+120(t-200)=120t-12000;
(3)证明:①汽车经途中D点时,S=120t-12000,
此时,AE=t-200,OD=t,
∴四边形OAED的面积=
(t-200+t)×120=120t-12000,

∴汽车行驶的路程恰等于四边形OAED的面积;
②∵从300秒时开始减速,
∴运动至点M时,瞬时速度y=120+a(t-300),
运动至M点,S=120×300-12000+120(t-300)+
a(t-300)
2,
=
a(t-300)
2+120(t-300)+24000,
∵AB=300-200=100,
五边形OABNM的面积=
(100+300)×120+
[120+a(t-300)+120]×(t-300),
=24000+
a(t-300)
2+120(t-300),
所以,汽车行驶的路程等于五边形OABNM的面积.