试题

某工厂准备加工一批形状如下图所示的矩形窗子，其窗框用铝合金材料做成，窗框的内部安装透明玻璃，每个窗框的周长5米，一边长为x米，做成的窗框的透光面积为y米²．
（1）请写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）根据（1）中的函数关系式分别计算：①当x=1时，窗框的透光面积是多少？②当x为何值时，窗框的透光面积最大？最大面积是多少？
（3）现工厂准备按（2）中的两种不同透光面积加工矩形窗子共计60个（其中透光面积最大的窗子不少于48个）．已知铝合金每米的材料费为25元，玻璃每平方米的材料费为32元，现计划用不多于10480元的资金购买材料来加工矩形窗子，那么共有哪几种加工窗子的方案？

解：（1）矩形一边长为x米，另一边为

5-2x

2

米，
∴y=

x(5-2x)

2

=-x2+

5

2

x，
自变量x的取值范围为0＜x＜

5

2

；

（2）①∵y=-x2+

5

2

x，
∴当x=1时，y=-12+

5

2

×1=

3

2

，
即x=1米时，窗框的透光面积是

3

2

米²．
②∵y=-x2+

5

2

x=-(x-

5

4

)2+

25

16

，又0＜

5

4

＜

5

2

，
∴当x=

5

4

时，窗框的最大透光面积是

25

16

米²．

（3）设加工透光面积最大的矩形窗子m个，则加工透光面积较小的矩形窗子为（60-m）个，
依题意得

25

16

×32·m+

3

2

×32·（60-m）+5×25×60≤10480，
解得：m≤50，又已知m≥48，
∴48≤m≤50，
∵m为整数，
∴m=48，49，50，
∴符合上述条件的共有三种加工方案，具体如下：
方案1：加工透光面积最大的矩形窗子48个，加工透光面积较小的矩形窗子12个；
方案2：加工透光面积最大的矩形窗子49个，加工透光面积较小的矩形窗子11个；
方案3：加工透光面积最大的矩形窗子50个，加工透光面积较小的矩形窗子10个．
解：（1）矩形一边长为x米，另一边为

5-2x

2

米，
∴y=

x(5-2x)

2

=-x2+

5

2

x，
自变量x的取值范围为0＜x＜

5

2

；

（2）①∵y=-x2+

5

2

x，
∴当x=1时，y=-12+

5

2

×1=

3

2

，
即x=1米时，窗框的透光面积是

3

2

米²．
②∵y=-x2+

5

2

x=-(x-

5

4

)2+

25

16

，又0＜

5

4

＜

5

2

，
∴当x=

5

4

时，窗框的最大透光面积是

25

16

米²．

（3）设加工透光面积最大的矩形窗子m个，则加工透光面积较小的矩形窗子为（60-m）个，
依题意得

25

16

×32·m+

3

2

×32·（60-m）+5×25×60≤10480，
解得：m≤50，又已知m≥48，
∴48≤m≤50，
∵m为整数，
∴m=48，49，50，
∴符合上述条件的共有三种加工方案，具体如下：
方案1：加工透光面积最大的矩形窗子48个，加工透光面积较小的矩形窗子12个；
方案2：加工透光面积最大的矩形窗子49个，加工透光面积较小的矩形窗子11个；
方案3：加工透光面积最大的矩形窗子50个，加工透光面积较小的矩形窗子10个．