试题

某蔬菜开发区种植西红柿，由历年行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿   市场售价P与上市的时间t的关系用图1的一条折线表示，西红柿的种植成本Q与上市时 间t的关系用图2的抛物线表示（市场售价和种植成本的单位；元/100kg）

（1）写出图1中表示的市场售价P与时间t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）写出图2表示的种植成本Q与时间t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？

：解：（1）设函数图象为y=kt+b，
当0≤t≤200时，由图可知点（0，300），（200，100）在函数图象上，
代入解析式得：

b=300 200k+b=100

，
解得：

k=-1 b=300

，
∴y=-t+300
同理可得：
当200≤t≤300时，解析式为y=2t-300，
故销售单价y与时间t的函数关系式为：y=

-t+300(0≤t≤200) 2t-300(200≤t≤300)

；

（2）根据图象，设函数解析式为z=a（t-150）²+100，
把点（50，150）代入解析式的：150=a×10000+100，
解得：a=

1

200

，
故解析式为：z=

1

200

（t-150）²+100；

（3）设t时刻的纯收益为h，则由题意得h=P-Q，即h=

- 1 200  t2+ 1 2 t+ 175 2 (0≤t≤200) - 1 200 t2+ 7 2 t- 1025 2 (200＜t≤300)

当0≤t≤200时，配方整理得
h=-

1

200

（t-50）²+100
所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100
当200＜t≤300时，配方整理得
h=-

1

200

（t-350）²+100
所以，当t=300时，h取得区间[200，300]上的最大值87.5
综上，由100＞87.5可知，h在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．
：解：（1）设函数图象为y=kt+b，
当0≤t≤200时，由图可知点（0，300），（200，100）在函数图象上，
代入解析式得：

b=300 200k+b=100

，
解得：

k=-1 b=300

，
∴y=-t+300
同理可得：
当200≤t≤300时，解析式为y=2t-300，
故销售单价y与时间t的函数关系式为：y=

-t+300(0≤t≤200) 2t-300(200≤t≤300)

；

（2）根据图象，设函数解析式为z=a（t-150）²+100，
把点（50，150）代入解析式的：150=a×10000+100，
解得：a=

1

200

，
故解析式为：z=

1

200

（t-150）²+100；

（3）设t时刻的纯收益为h，则由题意得h=P-Q，即h=

- 1 200  t2+ 1 2 t+ 175 2 (0≤t≤200) - 1 200 t2+ 7 2 t- 1025 2 (200＜t≤300)

当0≤t≤200时，配方整理得
h=-

1

200

（t-50）²+100
所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100
当200＜t≤300时，配方整理得
h=-

1

200

（t-350）²+100
所以，当t=300时，h取得区间[200，300]上的最大值87.5
综上，由100＞87.5可知，h在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．