试题

国家为了节能减排，计划对购买太阳能热水器进行政府补贴，为确定每购买一台太阳能热水器的政府补贴额，对某太阳能热水器专卖店的降价促销情况进行调研发现：销售额y（台）与每台降价额x（元）满足如图①所示的一次函数关系，销售每台太阳能热水器的收益z（元）与x满足如图②所示的一次函数关系．

（1）在未降价促销前，该专卖店销售太阳能热水器的总收益额为元；
（2）在降价促销后，求出该专卖店的销售额y、每台收益z与每台降价x的函数关系式；
（3）当每台降价额x定为多少时，该专卖店销售太阳能热水器的总收益w（元）最大？并求出总收益w的最大值．

（1）解：在未降价促销前，该专卖店销售太阳能热水器的总收益额为W=200×800=160000（元）；
故答案为：160000；

（2）解：根据图象设y=ax+800，z=kx+200，
把（400，1200）代入y=ax+800得：1200=400a+800，
解得：a=1，
则y=x+800，
把（200，160）代入z=kx+200得：160=200k+200，
解得：k=-

1

5

，
则z=-

1

5

x+200，
即关系式为y=x+800，z=-

1

5

x+200；

（3）解：W=yz=（x+800）·（-

1

5

x+200）=-

1

5

（x-100）²+165000，
∵-

1

5

＜0，
∴W有最大值，
当x=100时，W的最大值是165000，
即当每台降价额x定为100元时，该专卖店销售太阳能热水器的总收益w（元）最大，总收益w的最大值是165000元．