试题

（2011·闸北区一模）小强在一次投篮训练中，从距地面高1.55米处的O点投出一球向篮圈中心A点投去，球的飞行路线为抛物线，当球达到离地面最大高度3.55米时，球移动的水平距离为2米．现以O点为坐标原点，建立直角坐标系（如图所示），测得OA与水平方向OC的夹角为30°，A、C两点相距1.5米．
（1）求点A的坐标；
（2）求篮球飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小强这一投能否把球从O点直接投入篮圈A点（排除篮板球），如果能，请说明理由；如果不能，那么前后移动多少米，就能使刚才那一投直接命中篮圈A点了．（结果可保留根号）

解：（1）在Rt△AOC中，
∵∠AOC=30°，AC=1.5
∴OC=AC·cot30°=1.5×

3

=

3

2

3

，
∴点A的坐标为（

3

2

3

，1.5）；

（2）∵顶点B的纵坐标：3.55-1.55=2，
∴B（2，2），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+2
把点O（0，0）坐标代入得：0=a（0-2）²+2，
解得a=-

1

2

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

(x-2)2+2，
即y=-

1

2

x2+2x；

（3）①∵当x=

3

2

3

时，y≠1.5，
∴小强这一投不能把球从O点直接投入球篮；
②当y=1.5时，1.5=-

1

2

(x-2)2+2，
解得x₁=1（舍），x₂=3，
又∵3＞

3

2

3

，
∴小强只需向后退（3-

3

2

3

）米，就能使刚才那一投直接命中球篮A点了．
解：（1）在Rt△AOC中，
∵∠AOC=30°，AC=1.5
∴OC=AC·cot30°=1.5×

3

=

3

2

3

，
∴点A的坐标为（

3

2

3

，1.5）；

（2）∵顶点B的纵坐标：3.55-1.55=2，
∴B（2，2），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+2
把点O（0，0）坐标代入得：0=a（0-2）²+2，
解得a=-

1

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，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

(x-2)2+2，
即y=-

1

2

x2+2x；

（3）①∵当x=

3

2

3

时，y≠1.5，
∴小强这一投不能把球从O点直接投入球篮；
②当y=1.5时，1.5=-

1

2

(x-2)2+2，
解得x₁=1（舍），x₂=3，
又∵3＞

3

2

3

，
∴小强只需向后退（3-

3

2

3

）米，就能使刚才那一投直接命中球篮A点了．