试题

题目：
（2012·哈尔滨模拟）为了美化环境，计划将一个边长为4米的菱形草地ABCD分割成如图所示的四块，其中青果学院四边形AEPM和四边形NPFC均为菱形，且∠A=120°，若AE的长为x米，四边形BEPN和四边形DMPF的面积和为S平方米．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）根据（1）中的函数关系式，计算当x为何值时S最大，并求出最大值．
[参考公式：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x=-
b
2a
时，y最大（小）值=
4ac-b2
4a
]．
答案
解：（1）连AC，如图，青果学院
∵四边形ABCD为菱形，∠A=120°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴S菱形ABCD=2S△ABC=2×
3
4
AB2=8
3
，
同理得到S菱形AEPM=2S△AEP=2×
3
4
AE2=
3
2
x2，
S菱形NPFC=2S△NPC=2×
3
4
PN2=
3
2
BE=
3
2
（4-x）2，
故S=S菱形ABCD-S菱形NPFC
=8
3
-
3
2
x2-
3
2
（4-x）2
=-
3
x2+4
3
x，
（2）∵a=-
3
＜0，
∴S有最大值，
当x=-
4
3
2×(-
3
)
=2时，S最大值=
4×(-
3
)×0-(4
3
)2
4×(-
3
)
=4
3
．
解：（1）连AC，如图，青果学院
∵四边形ABCD为菱形，∠A=120°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴S菱形ABCD=2S△ABC=2×
3
4
AB2=8
3
，
同理得到S菱形AEPM=2S△AEP=2×
3
4
AE2=
3
2
x2，
S菱形NPFC=2S△NPC=2×
3
4
PN2=
3
2
BE=
3
2
（4-x）2，
故S=S菱形ABCD-S菱形NPFC
=8
3
-
3
2
x2-
3
2
（4-x）2
=-
3
x2+4
3
x，
（2）∵a=-
3
＜0，
∴S有最大值，
当x=-
4
3
2×(-
3
)
=2时，S最大值=
4×(-
3
)×0-(4
3
)2
4×(-
3
)
=4
3
．
考点梳理
二次函数的应用．
（1）连AC，根据菱形的性质得到∠BAC=60°，则△ABC为等边三角形，利用等边三角形的面积等于可得到边长平方的
3
4
倍可得到S菱形ABCD=2S△ABC=2×
3
4
AB2=8
3
，同理得到S菱形AEPM=2S△AEP=2×
3
4
AE2=
3
2
x2，S菱形NPFC=2S△NPC=2×
3
4
PN2=
3
2
BE=
3
2
（4-x）2，由S=S菱形ABCD-S菱形NPFC即可得到S=8
3
-
3
2
x2-
3
2
（4-x）2，然后化简即可；
（2）利用题中给的公式可计算出当x为何值时S最大以及最大值．
本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的几何关系得到二次函数解析式，然后利用二次函数的性质解决最大（或最小值）问题．
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