试题

（2012·锦州二模）为迎接锦州市2013世界园林博览会，我市准备将某路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯单价为5500元/个，现有两个商家经销此产品．甲商家一律按原价的80%销售；乙商家用如下方法促销：若购买路灯不超过150个，按原价付款；若一次购买150个以上，且购买的个数每增加一个，其单价减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于4000元/个．现设购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y₁元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y₂元．
（1）分别求出y₁、y₂与x之间的函数关系；
（2）若市政府投资154万元，应选择哪个商家购买，最多能购买多少个太阳能路灯？

解：（1）由题意可知，从甲商家购买路灯所需金额：
y₁=5500×80%x，即y₁=4400x．              
从乙商家购买路灯所需金额：
当x≤150时，购买一个需5500元，故y₂=5500x；   
当x＞150时，由题意，可得不等式5500-10（x-150）≥4000，
解得x≤300，
即当150＜x≤300时，购买一个路灯需[5500-10（x-150）]元，
故y₂=x[5500-10（x-150）]，即y₂=7000x-10x²；      
当x＞300时，购买一个需4000元，故y₂=4000x；     
所以y₂=

5500x  (0≤x≤150) 7000x-10x2(150＜x≤300) 4000x (x＞300)

；

（2）到甲商家购买：当y₁=1540000，即4400x=1540000，
解得x=350．                                          
乙商家：当0＜x≤150时，y₂=5500x≤825000＜1540000；
当150＜x≤300时，y₂=7000x-10x²=-10（x-350）²+1225000
因为当150＜x≤300，抛物线y₂随x的增大而增大，
所以当x=300时，y₂最大值=1200000＜1540000；
故用154万元到乙商家购买路灯的数量x＞300
当x＞300时，y₂=154000，即4000x=1540000，
解得x=385．
因为385＞350，故选择乙商家购买．
答：选择乙商家购买，最多能购买385个路灯．        
注：如果直接代入y₂=4000x，即4000x=1540000．
解：（1）由题意可知，从甲商家购买路灯所需金额：
y₁=5500×80%x，即y₁=4400x．              
从乙商家购买路灯所需金额：
当x≤150时，购买一个需5500元，故y₂=5500x；   
当x＞150时，由题意，可得不等式5500-10（x-150）≥4000，
解得x≤300，
即当150＜x≤300时，购买一个路灯需[5500-10（x-150）]元，
故y₂=x[5500-10（x-150）]，即y₂=7000x-10x²；      
当x＞300时，购买一个需4000元，故y₂=4000x；     
所以y₂=

5500x  (0≤x≤150) 7000x-10x2(150＜x≤300) 4000x (x＞300)

；

（2）到甲商家购买：当y₁=1540000，即4400x=1540000，
解得x=350．                                          
乙商家：当0＜x≤150时，y₂=5500x≤825000＜1540000；
当150＜x≤300时，y₂=7000x-10x²=-10（x-350）²+1225000
因为当150＜x≤300，抛物线y₂随x的增大而增大，
所以当x=300时，y₂最大值=1200000＜1540000；
故用154万元到乙商家购买路灯的数量x＞300
当x＞300时，y₂=154000，即4000x=1540000，
解得x=385．
因为385＞350，故选择乙商家购买．
答：选择乙商家购买，最多能购买385个路灯．        
注：如果直接代入y₂=4000x，即4000x=1540000．