试题

（2003·绵阳）市场营销人员对过去几年来某商品的价格及销售价格的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%（x＞0），销售数量就减少

1

3

x%．目前该商品的销售价为每个a元，统计其销售数量为b个．
（1）写出该商品销售总金额y（元）随x变化的函数关系式；
（2）这种商品的价格上涨多少，可使销售的总金额达到最大？

解：
（1）根据题意得，
y=（1+x%）a·（1-

1

3

x%）b
=

30000+200x-x2

30000

·ab
=[-

1

30000

（x-100）²+

4

3

]·ab

（2）∵a、b是已知数，且都是正数，
∴当[-

1

30000

（x-100）²+

4

3

]最大时y最大．
∵-

1

30000

＜0，
∴上式有最大值，
当x=100时上式的值最大．此时y也最大．
所以这种商品的价格上涨100%（1倍）可使销售的总金额达到最大．
解：
（1）根据题意得，
y=（1+x%）a·（1-

1

3

x%）b
=

30000+200x-x2

30000

·ab
=[-

1

30000

（x-100）²+

4

3

]·ab

（2）∵a、b是已知数，且都是正数，
∴当[-

1

30000

（x-100）²+

4

3

]最大时y最大．
∵-

1

30000

＜0，
∴上式有最大值，
当x=100时上式的值最大．此时y也最大．
所以这种商品的价格上涨100%（1倍）可使销售的总金额达到最大．